En matemáticas , especialmente en geometría algebraica y la teoría de variedades complejas , las gavillas coherentes son una clase de gavillas estrechamente ligadas a las propiedades geométricas del espacio subyacente. La definición de roldanas coherentes se hace con referencia a un haz de anillos que codifica esta información geométrica.
Las poleas coherentes pueden verse como una generalización de los haces de vectores . A diferencia de los paquetes de vectores, forman una categoría abeliana , por lo que se cierran en operaciones como tomar núcleos , imágenes y cokernels . Las gavillas cuasi coherentes son una generalización de las gavillas coherentes e incluyen las gavillas libres localmente de rango infinito.
La cohomología coherente de la gavilla es una técnica poderosa, en particular para estudiar las secciones de una gavilla coherente dada.
Definiciones
Una gavilla casi coherente en un espacio anillado es una gavilla de - módulos que tienen una presentación local, es decir, cada punto en tiene un vecindario abierto en el que hay una secuencia exacta
para algunos conjuntos (posiblemente infinitos) y .
Una gavilla coherente en un espacio anillado es una gavilla satisfaciendo las siguientes dos propiedades:
- es de tipo finito sobre, es decir, cada punto en tiene un vecindario abierto en tal que hay un morfismo sobreyectivo por algún número natural ;
- para cualquier conjunto abierto , cualquier número natural , y cualquier morfismo de -módulos, el núcleo de es de tipo finito.
Los morfismos entre haces (cuasi) coherentes son los mismos que los morfismos de haces de -módulos.
El caso de los esquemas
Cuándo es un esquema, las definiciones generales anteriores equivalen a otras más explícitas. Una gavilla de -modules es cuasi-coherente si y solo si sobre cada subesquema afín abierto la restricción es isomorfo a la gavilla asociado al módulo encima . Cuándo es un esquema localmente noetheriano, es coherente si y solo si es cuasi coherente y los módulosse puede considerar que se genera de forma finita .
En un esquema afín , hay una equivalencia de categorías de-módulos a poleas cuasi coherentes, tomando un módulo a la gavilla asociada . La equivalencia inversa toma una gavilla casi coherente en hacia -módulo de secciones globales de .
Aquí hay varias caracterizaciones más de poleas cuasi coherentes en un esquema. [1]
Teorema - Sea ser un esquema y un -módulo en él. Entonces los siguientes son equivalentes.
- es casi coherente.
- Para cada subesquema afín abierto de , es isomorfo como un -módulo a la gavilla asociado a algunos -módulo .
- Hay una cubierta afín abierta de tal que para cada de la portada, es isomorfo a la gavilla asociada a algunos -módulo.
- Para cada par de subesquemas afines abiertos de , el homomorfismo natural
- es un isomorfismo.
- Para cada subesquema afín abierto de y cada , escritura para el subesquema abierto de dónde no es cero, el homomorfismo natural
- es un isomorfismo. El homomorfismo proviene de la propiedad universal de localización .
Propiedades
En un espacio anillado arbitrario, las gavillas cuasi coherentes no forman necesariamente una categoría abeliana. Por otro lado, las gavillas cuasi coherentes en cualquier esquema forman una categoría abeliana, y son extremadamente útiles en ese contexto. [2]
En cualquier espacio anillado , las gavillas coherentes forman una categoría abeliana, una subcategoría completa de la categoría de-módulos. [3] (De manera análoga, la categoría de módulos coherentes sobre cualquier anillo es una subcategoría abeliana completa de la categoría de todos -modules.) Así que el núcleo, la imagen y el cokernel de cualquier mapa de haces coherentes son coherentes. La suma directa de dos haces coherentes es coherente; más generalmente, un-módulo que es una extensión de dos poleas coherentes es coherente. [4]
Un submódulo de una gavilla coherente es coherente si es de tipo finito. Una gavilla coherente es siempre una-módulo de presentación finita , lo que significa que cada punto en tiene un vecindario abierto tal que la restricción de a es isomorfo al cokernel de un morfismo para algunos números naturales y . Si es coherente, entonces, a la inversa, cada fajo de presentación finita sobre es coherente.
El haz de anillos Se llama coherente si es coherente considerado como un haz de módulos sobre sí mismo. En particular, el teorema de coherencia de Oka establece que el haz de funciones holomórficas en un espacio analítico complejoes un conjunto coherente de anillos. La parte principal de la prueba es el caso.. Del mismo modo, en un esquema localmente noetheriano , la estructura de la gavilla es un conjunto coherente de anillos. [5]
Construcciones básicas de poleas coherentes.
- Un -módulo en un espacio anillado se llama localmente libre de rango finito , o un paquete de vectores , si cada punto en tiene un vecindario abierto tal que la restricción es isomorfo a una suma directa finita de copias de . Si está libre del mismo rango cerca de cada punto de , luego el paquete de vectores se dice que es de rango .
- Paquetes de vectores en este sentido teórico de gavilla sobre un esquema son equivalentes a los paquetes de vectores definidos de una manera más geométrica, como un esquema con un morfismo y con una cubierta de por conjuntos abiertos con isomorfismos dados encima tal que los dos isomorfismos sobre una intersección difieren por un automorfismo lineal. [6] (La equivalencia análoga también es válida para espacios analíticos complejos). Por ejemplo, dado un paquete de vectores en este sentido geométrico, la gavilla correspondiente se define por: sobre un conjunto abierto de , la -módulo es el conjunto de secciones del morfismo . La interpretación teórica de haces de haces de vectores tiene la ventaja de que los haces de vectores (en un esquema localmente noetheriano) se incluyen en la categoría abeliana de haces coherentes.
- Las poleas libres localmente vienen equipadas con el estándar -módulo de operaciones, pero estos devuelven gavillas libres localmente. [ vago ]
- Dejar , un anillo noetheriano. Luego, los paquetes de vectores enson exactamente las poleas asociadas a módulos proyectivos generados finitamente sobre, o (equivalentemente) a módulos planos generados finitamente sobre. [7]
- Dejar , un noetheriano -anillo graduado, sea un esquema proyectivo sobre un anillo noetheriano. Entonces cada-calificado -módulo determina una gavilla casi coherente en tal que es la gavilla asociada a la -módulo , dónde es un elemento homogéneo de de grado positivo y es el lugar donde no desaparece.
- Por ejemplo, para cada entero , dejar denotar el calificado -módulo dado por . Entonces cada determina la gavilla casi coherente en . Si se genera como -álgebra por , luego es un paquete de líneas (gavilla invertible) en y es el -ésimo poder tensorial de . En particular,se llama el paquete de líneas tautológicas en el proyectivo-espacio.
- Un ejemplo simple de una gavilla coherente en que no es un paquete de vectores viene dado por el cokernel en la siguiente secuencia
- esto es porque restringido al lugar de fuga de los dos polinomios está el objeto cero.
- Gavillas ideales : Si es un subesquema cerrado de un esquema localmente noetheriano , la gavilla de todas las funciones regulares que desaparecen en es coherente. Asimismo, si es un subespacio analítico cerrado de un espacio analítico complejo , la gavilla ideal es coherente.
- La estructura de la gavilla de un subesquema cerrado de un esquema localmente noetheriano puede verse como una gavilla coherente en . Para ser precisos, este es el haz de imágenes directas. , dónde es la inclusión. Lo mismo ocurre con un subespacio analítico cerrado de un espacio analítico complejo. La gavilla tiene fibra (definida a continuación) de dimensión cero en puntos del conjunto abierto , y fibra de dimensión 1 en puntos en . Hay una breve secuencia exacta de gavillas coherentes en:
- La mayoría de las operaciones del álgebra lineal conservan haces coherentes. En particular, para poleas coherentes y en un espacio anillado , la gavilla de producto tensory el haz de homomorfismos son coherentes. [8]
- Un simple ejemplo no de una gavilla cuasi coherente viene dado por la extensión por el funtor cero. Por ejemplo, considere por
- Dado que esta gavilla tiene tallos no triviales, pero cero secciones globales, no puede ser una gavilla casi coherente. Esto se debe a que las poleas cuasi coherentes en un esquema afín son equivalentes a la categoría de módulos sobre el anillo subyacente, y la adjunción proviene de tomar secciones globales.
Functorialidad
Dejar ser un morfismo de espacios anillados (por ejemplo, un morfismo de esquemas ). Si es una gavilla casi coherente en , luego la imagen inversa -módulo (o retroceso ) es casi coherente en . [10] Por un morfismo de esquemas y una gavilla coherente en , el retroceso no es coherente en total generalidad (por ejemplo, , que puede no ser coherente), pero los retrocesos de las poleas coherentes son coherentes si es localmente noetheriano. Un caso especial importante es el retroceso de un paquete de vectores, que es un paquete de vectores.
Si es un morfismo cuasi-compacto cuasi-separado de esquemas y es una gavilla casi coherente en , luego la gavilla de imagen directa (o empujar hacia adelante ) es casi coherente en . [2]
La imagen directa de una gavilla coherente a menudo no es coherente. Por ejemplo, para un campo , dejar ser la línea afín sobre , y considere el morfismo ; luego la imagen directa está la gavilla en asociado al anillo polinomial , que no es coherente porque tiene una dimensión infinita como -espacio vectorial. Por otro lado, la imagen directa de una gavilla coherente bajo un morfismo adecuado es coherente, según los resultados de Grauert y Grothendieck .
Comportamiento local de poleas coherentes
Una característica importante de las poleas coherentes. es que las propiedades de en un punto controlar el comportamiento de en un barrio de , más de lo que sería cierto para una gavilla arbitraria. Por ejemplo, el lema de Nakayama dice (en lenguaje geométrico) que si es una gavilla coherente en un esquema , luego la fibra de en un punto (un espacio vectorial sobre el campo de residuos ) is zero if and only if the sheaf is zero on some open neighborhood of . A related fact is that the dimension of the fibers of a coherent sheaf is upper-semicontinuous.[11] Thus a coherent sheaf has constant rank on an open set, while the rank can jump up on a lower-dimensional closed subset.
In the same spirit: a coherent sheaf on a scheme is a vector bundle if and only if its stalk is a free module over the local ring for every point in .[12]
On a general scheme, one cannot determine whether a coherent sheaf is a vector bundle just from its fibers (as opposed to its stalks). On a reduced locally Noetherian scheme, however, a coherent sheaf is a vector bundle if and only if its rank is locally constant.[13]
Ejemplos de paquetes de vectores
For a morphism of schemes , let be the diagonal morphism, which is a closed immersion if is separated over . Let be the ideal sheaf of in . Then the sheaf of differentials can be defined as the pullback of to . Sections of this sheaf are called 1-forms on over , and they can be written locally on as finite sums for regular functions and . If is locally of finite type over a field , then is a coherent sheaf on .
If is smooth over , then (meaning ) is a vector bundle over , called the cotangent bundle of . Then the tangent bundle is defined to be the dual bundle . For smooth over of dimension everywhere, the tangent bundle has rank .
If is a smooth closed subscheme of a smooth scheme over , then there is a short exact sequence of vector bundles on :
which can be used as a definition of the normal bundle to in .
For a smooth scheme over a field and a natural number , the vector bundle of i-forms on is defined as the -th exterior power of the cotangent bundle, . For a smooth variety of dimension over , the canonical bundle means the line bundle . Thus sections of the canonical bundle are algebro-geometric analogs of volume forms on . For example, a section of the canonical bundle of affine space over can be written as
where is a polynomial with coefficients in .
Let be a commutative ring and a natural number. For each integer , there is an important example of a line bundle on projective space over , called . To define this, consider the morphism of -schemes
given in coordinates by . (That is, thinking of projective space as the space of 1-dimensional linear subspaces of affine space, send a nonzero point in affine space to the line that it spans.) Then a section of over an open subset of is defined to be a regular function on that is homogeneous of degree , meaning that
as regular functions on (. For all integers and , there is an isomorphism of line bundles on .
In particular, every homogeneous polynomial in of degree over can be viewed as a global section of over . Note that every closed subscheme of projective space can be defined as the zero set of some collection of homogeneous polynomials, hence as the zero set of some sections of the line bundles .[14] This contrasts with the simpler case of affine space, where a closed subscheme is simply the zero set of some collection of regular functions. The regular functions on projective space over are just the "constants" (the ring ), and so it is essential to work with the line bundles .
Serre gave an algebraic description of all coherent sheaves on projective space, more subtle than what happens for affine space. Namely, let be a Noetherian ring (for example, a field), and consider the polynomial ring as a graded ring with each having degree 1. Then every finitely generated graded -module has an associated coherent sheaf on over . Every coherent sheaf on arises in this way from a finitely generated graded -module . (For example, the line bundle is the sheaf associated to the -module with its grading lowered by .) But the -module that yields a given coherent sheaf on is not unique; it is only unique up to changing by graded modules that are nonzero in only finitely many degrees. More precisely, the abelian category of coherent sheaves on is the quotient of the category of finitely generated graded -modules by the Serre subcategory of modules that are nonzero in only finitely many degrees.[15]
The tangent bundle of projective space over a field can be described in terms of the line bundle . Namely, there is a short exact sequence, the Euler sequence:
It follows that the canonical bundle (the dual of the determinant line bundle of the tangent bundle) is isomorphic to . This is a fundamental calculation for algebraic geometry. For example, the fact that the canonical bundle is a negative multiple of the ample line bundle means that projective space is a Fano variety. Over the complex numbers, this means that projective space has a Kähler metric with positive Ricci curvature.
Vector bundles on a hypersurface
Consider a smooth degree- hypersurface defined by the homogeneous polynomial of degree . Then, there is an exact sequence
where the second map is the pullback of differential forms, and the first map sends
Note that this sequence tells us that is the conormal sheaf of in . Dualizing this yields the exact sequence
hence is the normal bundle of in . If we use the fact that given an exact sequence
of vector bundles with ranks ,,, there is an isomorphism
of line bundles, then we see that there is the isomorphism
showing that
Construcción de serre y paquetes de vectores
One useful technique for constructing rank 2 vector bundles is the Serre construction[16][17]pg 3 which establishes a correspondence between rank 2 vector bundles on a smooth projective variety and codimension 2 subvarieties using a certain -group calculated on . This is given by a cohomological condition on the line bundle (see below).
The correspondence in one direction is given as follows: for a section we can associated the vanishing locus . If is a codimension 2 subvariety, then
- It is a local complete intersection, meaning if we take an affine chart then can be represented as a function , where and
- The line bundle is isomorphic to the canonical bundle on
In the other direction,[18] for a codimension 2 subvariety and a line bundle such that
there is a canonical isomorphism
which is functorial with respect to inclusion of codimension subvarieties. Moreover, any isomorphism given on the left corresponds to a locally free sheaf in the middle of the extension on the right. That is, for which is an isomorphism there is a corresponding locally free sheaf of rank 2 which fits into a short exact sequence
This vector bundle can then be further studied using cohomological invariants to determine if it is stable or not. This forms the basis for studying moduli of stable vector bundles in many specific cases, such as on principally polarized abelian varieties[17] and K3 surfaces.[19]
Clases de Chern y algebraica K -teoría
A vector bundle on a smooth variety over a field has Chern classes in the Chow ring of , in for .[20] These satisfy the same formal properties as Chern classes in topology. For example, for any short exact sequence
of vector bundles on , the Chern classes of are given by
It follows that the Chern classes of a vector bundle depend only on the class of in the Grothendieck group . By definition, for a scheme , is the quotient of the free abelian group on the set of isomorphism classes of vector bundles on by the relation that for any short exact sequence as above. Although is hard to compute in general, algebraic K-theory provides many tools for studying it, including a sequence of related groups for integers .
A variant is the group (or ), the Grothendieck group of coherent sheaves on . (In topological terms, G-theory has the formal properties of a Borel–Moore homology theory for schemes, while K-theory is the corresponding cohomology theory.) The natural homomorphism is an isomorphism if is a regular separated Noetherian scheme, using that every coherent sheaf has a finite resolution by vector bundles in that case.[21] For example, that gives a definition of the Chern classes of a coherent sheaf on a smooth variety over a field.
More generally, a Noetherian scheme is said to have the resolution property if every coherent sheaf on has a surjection from some vector bundle on . For example, every quasi-projective scheme over a Noetherian ring has the resolution property.
Applications of resolution property
Since the resolution property states that a coherent sheaf on a Noetherian scheme is quasi-isomorphic in the derived category to the complex of vector bundles : we can compute the total Chern class of with
For example, this formula is useful for finding the Chern classes of the sheaf representing a subscheme of . If we take the projective scheme associated to the ideal , then
since there is the resolution
over .
Homomorfismo de haz frente a homomorfismo de gavilla
When vector bundles and locally free sheaves of finite constant rank are used interchangeably, care must be given to distinguish between bundle homomorphisms and sheaf homomorphisms. Specifically, given vector bundles , by definition, a bundle homomorphism is a scheme morphism over (i.e., ) such that, for each geometric point in , is a linear map of rank independent of . Thus, it induces the sheaf homomorphism of constant rank between the corresponding locally free -modules (sheaves of dual sections). But there may be an -module homomorphism that does not arise this way; namely, those not having constant rank.
In particular, a subbundle is a subsheaf (i.e., is a subsheaf of ). But the converse can fail; for example, for an effective Cartier divisor on , is a subsheaf but typically not a subbundle (since any line bundle has only two subbundles).
La categoría de poleas cuasi coherentes
Quasi-coherent sheaves on any scheme form an abelian category. Gabber showed that, in fact, the quasi-coherent sheaves on any scheme form a particularly well-behaved abelian category, a Grothendieck category.[22] A quasi-compact quasi-separated scheme (such as an algebraic variety over a field) is determined up to isomorphism by the abelian category of quasi-coherent sheaves on , by Rosenberg, generalizing a result of Gabriel.[23]
Cohomología coherente
The fundamental technical tool in algebraic geometry is the cohomology theory of coherent sheaves. Although it was introduced only in the 1950s, many earlier techniques of algebraic geometry are clarified by the language of sheaf cohomology applied to coherent sheaves. Broadly speaking, coherent sheaf cohomology can be viewed as a tool for producing functions with specified properties; sections of line bundles or of more general sheaves can be viewed as generalized functions. In complex analytic geometry, coherent sheaf cohomology also plays a foundational role.
Among the core results of coherent sheaf cohomology are results on finite-dimensionality of cohomology, results on the vanishing of cohomology in various cases, duality theorems such as Serre duality, relations between topology and algebraic geometry such as Hodge theory, and formulas for Euler characteristics of coherent sheaves such as the Riemann–Roch theorem.
Ver también
- Picard group
- Divisor (algebraic geometry)
- Reflexive sheaf
- Quot scheme
- Twisted sheaf
- Essentially finite vector bundle
- Bundle of principal parts
- Gabriel–Rosenberg reconstruction theorem
- Pseudo-coherent sheaf
- Quasi-coherent sheaf on an algebraic stack
Notas
- ^ Mumford 1999, Ch. III, § 1, Theorem-Definition 3.
- ^ a b Stacks Project, Tag 01LA.
- ^ Stacks Project, Tag 01BU.
- ^ Serre 1955, §13
- ^ Grothendieck & Dieudonné 1960, Corollaire 1.5.2
- ^ Hartshorne 1977, Exercise II.5.18
- ^ Stacks Project, Tag 00NV.
- ^ Serre 1955, §14
- ^ Hartshorne 1977
- ^ Stacks Project, Tag 01BG.
- ^ Hartshorne 1977, Example III.12.7.2
- ^ Grothendieck & Dieudonné 1960, Ch. 0, 5.2.7
- ^ Eisenbud 1995, Exercise 20.13
- ^ Hartshorne 1977, Corollary II.5.16
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- ^ Fulton 1998, §3.2 and Example 8.3.3
- ^ Fulton 1998, B.8.3
- ^ Stacks Project, Tag 077K.
- ^ Antieau 2016, Corollary 4.2
Referencias
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- Mumford, David (1999). The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians (2nd ed.). Springer-Verlag. doi:10.1007/b62130. ISBN 354063293X. MR 1748380.
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- Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Annals of Mathematics, 61: 197–278, doi:10.2307/1969915, MR 0068874
enlaces externos
- The Stacks Project Authors, The Stacks Project
- Part V of Vakil, Ravi, The Rising Sea