Paquete tautológico

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En matemáticas , el paquete tautológico es un paquete vectorial que ocurre sobre un Grassmanniano de una manera tautológica natural: para un Grassmanniano de subespacios dimensionales de , dado un punto en el Grassmanniano correspondiente a un subespacio vectorial dimensional , la fibra sobre es el subespacio mismo . En el caso del espacio proyectivo, el paquete tautológico se conoce como paquete lineal tautológico.${\ estilo de visualización k}$ ${\ estilo de visualización V}$${\ estilo de visualización k}$${\displaystyle W\subseteq V}$${\ estilo de visualización W}$${\ estilo de visualización W}$

El paquete tautológico también se denomina paquete universal ya que cualquier paquete vectorial (sobre un espacio compacto ^[1] ) es un retroceso del paquete tautológico; es decir, un grassmanniano es un espacio clasificador de fibrados vectoriales. Debido a esto, el paquete tautológico es importante en el estudio de las clases características .

Los paquetes tautológicos se construyen tanto en topología algebraica como en geometría algebraica. En geometría algebraica, el paquete de líneas tautológicas (como haz invertible ) es

el dual del haz hiperplano o haz retorcido de Serre . El haz hiperplano es el haz lineal correspondiente al hiperplano ( divisor ) en El haz lineal tautológico y el haz hiperplano son exactamente los dos generadores del grupo de Picard del espacio proyectivo. ^[2]${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)}$${\ estilo de visualización \ mathbb {P} ^ {n-1}}$${\ estilo de visualización \ mathbb {P} ^ {n}}$

En la "teoría K" de Michael Atiyah , el paquete de líneas tautológico sobre un espacio proyectivo complejo se denomina paquete de líneas estándar . El paquete de esferas del paquete estándar generalmente se llama paquete de Hopf . (cf. generador de Bott ).

De manera más general, también hay paquetes tautológicos en un paquete proyectivo de un paquete vectorial, así como un paquete de Grassmann .

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