El Negro-Scholes / ˌ b l æ k ʃ oʊ l z / [1] o modelo Negro-Scholes-Merton es un modelo matemático para la dinámica de un mercado financiero que contienen derivados instrumentos de inversión. De la ecuación diferencial parcial en el modelo, conocida como ecuación de Black-Scholes , se puede deducir la fórmula de Black-Scholes , que da una estimación teórica del precio de las opciones de estilo europeo y muestra que la opción tiene un valor único.precio dado el riesgo del valor y su rendimiento esperado (en lugar de reemplazar el rendimiento esperado del valor con la tasa neutral al riesgo ). La ecuación y el modelo llevan el nombre de los economistas Fischer Black y Myron Scholes ; Robert C. Merton , quien escribió por primera vez un artículo académico sobre el tema, a veces también se le atribuye.
La idea clave detrás del modelo es cubrir la opción comprando y vendiendo el activo subyacente de la manera correcta y, como consecuencia, eliminar el riesgo. Este tipo de cobertura se denomina " cobertura delta revisada continuamente " y es la base de estrategias de cobertura más complicadas, como las que utilizan los bancos de inversión y los fondos de cobertura .
El modelo es ampliamente utilizado, aunque a menudo con algunos ajustes, por los participantes del mercado de opciones. [2] : 751 Los supuestos del modelo se han relajado y generalizado en muchas direcciones, lo que ha dado lugar a una plétora de modelos que se utilizan actualmente en la fijación de precios de derivados y la gestión de riesgos. Son los conocimientos del modelo, como se ejemplifica en la fórmula de Black-Scholes , los que utilizan con frecuencia los participantes del mercado, a diferencia de los precios reales. Estos conocimientos incluyen límites sin arbitraje y precios neutrales al riesgo (gracias a la revisión continua). Además, la ecuación de Black-Scholes, una ecuación diferencial parcial que rige el precio de la opción, permite la fijación de precios mediante métodos numéricos cuando no es posible una fórmula explícita.
La fórmula Black-Scholes tiene un solo parámetro que no se puede observar directamente en el mercado: la volatilidad futura promedio del activo subyacente, aunque se puede encontrar a partir del precio de otras opciones. Dado que el valor de la opción (put o call) está aumentando en este parámetro, se puede invertir para producir una " superficie de volatilidad " que luego se utiliza para calibrar otros modelos, por ejemplo, para derivados OTC .
Historia
Los economistas Fischer Black y Myron Scholes demostraron en 1968 que una revisión dinámica de una cartera elimina el rendimiento esperado del valor, inventando así el argumento neutral al riesgo . [3] [4] Basaron su pensamiento en el trabajo realizado anteriormente por investigadores de mercado y profesionales como Louis Bachelier , Sheen Kassouf y Edward O. Thorp . Black y Scholes luego intentaron aplicar la fórmula a los mercados, pero incurrieron en pérdidas financieras debido a la falta de gestión de riesgos en sus operaciones. En 1970 decidieron volver al ámbito académico. [5] Después de tres años de esfuerzos, la fórmula, nombrada en honor a ellos por hacerla pública, finalmente se publicó en 1973 en un artículo titulado "La fijación de precios de opciones y pasivos corporativos", en la Revista de Economía Política . [6] [7] [8] Robert C. Merton fue el primero en publicar un artículo que amplía la comprensión matemática del modelo de precios de opciones y acuñó el término " modelo de precios de opciones Black-Scholes ".
La fórmula dio lugar a un auge en el comercio de opciones y proporcionó legitimidad matemática a las actividades del Chicago Board Options Exchange y otros mercados de opciones en todo el mundo. [9]
Merton y Scholes recibieron el Premio Nobel de Ciencias Económicas en 1997 por su trabajo, y el comité citó su descubrimiento de la revisión dinámica neutral al riesgo como un gran avance que separa la opción del riesgo de la seguridad subyacente. [10] Aunque no fue elegible para el premio debido a su muerte en 1995, Black fue mencionado como colaborador por la Academia Sueca. [11]
Hipótesis fundamentales
El modelo de Black-Scholes asume que el mercado consta de al menos un activo de riesgo, generalmente llamado acciones, y un activo sin riesgo, generalmente llamado mercado monetario, efectivo o bono.
Ahora hacemos suposiciones sobre los activos (que explican sus nombres):
- (Tasa sin riesgo) La tasa de rendimiento del activo sin riesgo es constante y, por lo tanto, se denomina tasa de interés libre de riesgo .
- (Caminata aleatoria) El retorno logarítmico instantáneo del precio de las acciones es una caminata aleatoria infinitesimal con deriva; más precisamente, el precio de las acciones sigue un movimiento browniano geométrico , y asumiremos que su deriva y volatilidad son constantes (si varían en el tiempo, podemos deducir una fórmula de Black-Scholes adecuadamente modificada de manera bastante simple, siempre que la volatilidad no sea aleatorio).
- La acción no paga dividendos . [Notas 1]
Los supuestos del mercado son:
- No hay oportunidad de arbitraje (es decir, no hay forma de obtener ganancias sin riesgo).
- Capacidad para pedir prestado y prestar cualquier cantidad, incluso una fracción, de efectivo a una tasa sin riesgo.
- Capacidad para comprar y vender cualquier cantidad, incluso una fracción, de las acciones (esto incluye las ventas en corto ).
- Las transacciones anteriores no incurren en tarifas ni costos (es decir, mercado sin fricciones ).
Teniendo en cuenta estos supuestos, suponga que existe un valor derivado que también cotiza en este mercado. Especificamos que este valor tendrá una determinada recompensa en una fecha determinada en el futuro, en función de los valores tomados por la acción hasta esa fecha. Es un hecho sorprendente que el precio del derivado esté completamente determinado en el momento actual, aunque no sepamos qué camino tomará el precio de la acción en el futuro. Para el caso especial de una opción call o put europea, Black y Scholes demostraron que "es posible crear una posición cubierta , consistente en una posición larga en la acción y una posición corta en la opción, cuyo valor no dependerá de la precio de la acción ". [12] Su estrategia de cobertura dinámica condujo a una ecuación diferencial parcial que regía el precio de la opción. Su solución viene dada por la fórmula de Black-Scholes.
Varias de estas suposiciones del modelo original se han eliminado en posteriores ampliaciones del modelo. Las versiones modernas dan cuenta de tasas de interés dinámicas (Merton, 1976), [ cita requerida ] costos de transacción e impuestos (Ingersoll, 1976), [ cita requerida ] y pago de dividendos. [13]
Notación
La notación utilizada a lo largo de esta página se definirá de la siguiente manera, agrupada por tema:
Relacionados con el mercado y general:
- , un tiempo en años; generalmente usamos como ahora;
- , la tasa de interés libre de riesgo anualizada , compuesta continuamente También conocida como la fuerza del interés ;
Relacionado con el activo:
- , el precio del activo subyacente en el momento t , también denotado como ;
- , la tasa de deriva de , anualizado;
- , la desviación estándar de los rendimientos de las acciones; esta es la raíz cuadrada de la variación cuadrática del proceso del precio logarítmico de la acción, una medida de su volatilidad ;
Opción relacionada:
- , el precio de la opción en función del activo subyacente S , en el momento t ; En particular
- es el precio de una opción de compra europea y
- el precio de una opción de venta europea;
- , tiempo de vencimiento de la opción, siendo el tiempo hasta la madurez;
- , el precio de ejercicio de la opción, también conocido como precio de ejercicio.
Usaremos para denotar la función de distribución acumulativa normal estándar ,
observación .
denotará la función de densidad de probabilidad normal estándar ,
Ecuación de Black-Scholes
Como se indicó anteriormente, la ecuación de Black-Scholes es una ecuación diferencial parcial , que describe el precio de la opción a lo largo del tiempo. La ecuación es:
La idea financiera clave detrás de la ecuación es que se puede cubrir perfectamente la opción comprando y vendiendo el activo subyacente y el activo de la cuenta bancaria (efectivo) de la manera correcta y, en consecuencia, "eliminar el riesgo". [ cita requerida ] Esta cobertura, a su vez, implica que solo hay un precio correcto para la opción, como lo devuelve la fórmula de Black-Scholes (ver la siguiente sección ).
Fórmula de Black – Scholes
La fórmula de Black-Scholes calcula el precio de las opciones de compra y venta europeas . Este precio es consistente con la ecuación de Black-Scholes anterior ; esto se sigue, ya que la fórmula se puede obtener resolviendo la ecuación para las condiciones terminales y de contorno correspondientes:
El valor de una opción de compra para una acción subyacente que no paga dividendos en términos de los parámetros de Black-Scholes es:
El precio de una opción de venta correspondiente en función de la paridad de compra con el factor de descuento. es:
Formulación alternativa
La introducción de algunas variables auxiliares permite simplificar y reformular la fórmula en una forma que a menudo es más conveniente (este es un caso especial de la fórmula Black '76 ):
Las variables auxiliares son:
- es el factor de descuento
- es el precio a plazo del activo subyacente, y
con d + = d 1 y d - = d 2 para aclarar la notación.
Dada la paridad put-call, que se expresa en estos términos como:
el precio de una opción de venta es:
Interpretación
La fórmula de Black-Scholes se puede interpretar con bastante facilidad, con la principal sutileza de la interpretación de la (y a fortiori ) términos, particularmente y por qué hay dos términos diferentes. [14]
La fórmula se puede interpretar descomponiendo primero una opción de compra en la diferencia de dos opciones binarias : una llamada de activo o nada menos una llamada de efectivo o nada (larga una llamada de activo o nada, corta una opción de efectivo o nada). nada llamado). Una opción de compra intercambia efectivo por un activo al vencimiento, mientras que una opción de compra de activo o nada solo produce el activo (sin efectivo a cambio) y una opción de compra de efectivo o nada solo produce efectivo (sin activo a cambio). La fórmula de Black-Scholes es una diferencia de dos términos, y estos dos términos son iguales a los valores de las opciones de compra binarias. Estas opciones binarias se negocian con mucha menos frecuencia que las opciones de compra estándar, pero son más fáciles de analizar.
De ahí la fórmula:
se rompe como:
dónde es el valor presente de una opción call de activo o nada y es el valor actual de una llamada en efectivo o nada. El factor D es para el descuento, porque la fecha de vencimiento es en el futuro, y eliminarlo cambia el valor presente a valor futuro (valor al vencimiento). Por lo tanto es el valor futuro de una llamada de activo o nada y es el valor futuro de una llamada en efectivo o nada. En términos neutrales al riesgo, estos son el valor esperado del activo y el valor esperado del efectivo en la medida neutral al riesgo.
La interpretación ingenua, y no del todo correcta, de estos términos es que es la probabilidad de que la opción expire en el dinero , multiplicado por el valor del subyacente al vencimiento F, mientras que es la probabilidad de que la opción expire en el dinero multiplicado por el valor del efectivo al vencimiento K. Esto es obviamente incorrecto, ya que ambos binarios caducan en el dinero o ambos caducan fuera del dinero (o el efectivo se intercambia por activos o no), pero las probabilidades y no son iguales. De echo,puede interpretarse como medidas de monetidad (en desviaciones estándar) ycomo probabilidades de que expira ITM ( ciento moneyness ), en el respectivo numéraire , como se discute a continuación. En pocas palabras, la interpretación de la opción en efectivo,, es correcta, ya que el valor del efectivo es independiente de los movimientos del subyacente y, por lo tanto, puede interpretarse como un simple producto de "probabilidad por valor", mientras que el es más complicado, ya que la probabilidad de caducar en el dinero y el valor del activo al vencimiento no son independientes. [14] Más precisamente, el valor del activo al vencimiento es variable en términos de efectivo, pero es constante en términos del activo en sí (una cantidad fija del activo) y, por lo tanto, estas cantidades son independientes si se cambia numéraire a la activo en lugar de efectivo.
Si uno usa el punto S en lugar de la F hacia adelante , en en vez de término hay que puede interpretarse como un factor de deriva (en la medida neutral al riesgo para el numéraire apropiado). El uso de d - para el dinero en lugar del dinero estandarizado - en otras palabras, el motivo de la factor - se debe a la diferencia entre la mediana y la media de la distribución logarítmica normal ; es el mismo factor que en el lema de Itō aplicado al movimiento browniano geométrico . Además, otra forma de ver que la interpretación ingenua es incorrecta es reemplazar por en la fórmula arroja un valor negativo para las opciones de compra fuera del dinero. [14] : 6
En detalle, los términos son las probabilidades de que la opción expire in-the-money bajo la medida de probabilidad de martingala exponencial equivalente (numéraire = stock) y la medida de probabilidad de martingala equivalente (numéraire = activo libre de riesgo), respectivamente. [14] La densidad de probabilidad neutral al riesgo para el precio de las acciones. es
dónde se define como arriba.
Específicamente, es la probabilidad de que se ejerza la opción call siempre que se asuma que la deriva del activo es la tasa libre de riesgo. sin embargo, no se presta a una interpretación de probabilidad simple. se interpreta correctamente como el valor presente, utilizando la tasa de interés libre de riesgo, del precio esperado del activo al vencimiento, dado que el precio del activo al vencimiento está por encima del precio de ejercicio. [15] Para una discusión relacionada - y representación gráfica - vea la sección "Interpretación" bajo el método Datar-Mathews para la valoración de opciones reales .
La medida de probabilidad de martingala equivalente también se denomina medida de probabilidad neutral al riesgo . Tenga en cuenta que ambos son probabilidades en un sentido teórico de la medida , y ninguno de ellos es la verdadera probabilidad de expirar en dinero bajo la medida de probabilidad real . Para calcular la probabilidad según la medida de probabilidad real ("física"), se requiere información adicional: el término de deriva en la medida física o, de manera equivalente, el precio de mercado del riesgo .
Derivaciones
En el artículo Ecuación de Black-Scholes se proporciona una derivación estándar para resolver el PDE de Black-Scholes .
La fórmula de Feynman-Kac dice que la solución a este tipo de PDE, cuando se descuenta adecuadamente, es en realidad una martingala . Por tanto, el precio de la opción es el valor esperado del pago descontado de la opción. Calcular el precio de la opción a través de esta expectativa es el enfoque de neutralidad de riesgo y se puede hacer sin el conocimiento de las PDE. [14] Tenga en cuenta que la expectativa del pago de la opción no se realiza según la medida de probabilidad del mundo real , sino una medida artificial neutral al riesgo , que difiere de la medida del mundo real. Para conocer la lógica subyacente, consulte la sección "Valoración neutral al riesgo" en Precios racionales y la sección "Precios de derivados: el mundo Q " en Finanzas matemáticas ; para más detalles, una vez más, consulte Hull . [16] : 307–309
Los griegos
" Los griegos " miden la sensibilidad del valor de un derivado o una cartera a los cambios en los valores de los parámetros mientras mantienen fijos los demás parámetros. Son derivadas parciales del precio con respecto a los valores de los parámetros. Un griego, "gamma" (así como otros que no se enumeran aquí) es un derivado parcial de otro griego, "delta" en este caso.
Los griegos son importantes no solo en la teoría matemática de las finanzas, sino también para quienes comercian activamente. Las instituciones financieras generalmente establecerán valores límite (de riesgo) para cada uno de los griegos que sus comerciantes no deben exceder. Delta es el griego más importante, ya que generalmente confiere el mayor riesgo. Muchos operadores pondrán a cero su delta al final del día si no están especulando sobre la dirección del mercado y siguiendo un enfoque de cobertura neutral delta como lo define Black-Scholes.
Los griegos para Black-Scholes se dan en forma cerrada a continuación. Pueden obtenerse diferenciando la fórmula de Black-Scholes. [17]
Llamadas | Pone | ||
---|---|---|---|
Delta | |||
Gama | |||
Vega | |||
Theta | |||
Rho |
Tenga en cuenta que, a partir de las fórmulas, está claro que la gamma es el mismo valor para las llamadas y las opciones de venta y también el vega es el mismo valor para las opciones de compra y venta. Esto se puede ver directamente en la paridad put-call , ya que la diferencia entre put y call es un forward, que es lineal en S e independiente de σ (por lo que un forward tiene cero gamma y cero vega). N 'es la función de densidad de probabilidad normal estándar.
En la práctica, algunas sensibilidades generalmente se citan en términos reducidos, para que coincidan con la escala de cambios probables en los parámetros. Por ejemplo, rho a menudo se informa dividido por 10,000 (cambio de tasa de 1 punto básico), vega por 100 (cambio de 1 punto por volumen) y theta por 365 o 252 (decaimiento de 1 día basado en días calendario o días de negociación por año).
(Vega no es una letra del alfabeto griego; el nombre surge de leer la letra griega ν (nu) como una V.)
Extensiones del modelo
El modelo anterior se puede ampliar para tasas y volatilidades variables (pero deterministas). El modelo también puede utilizarse para valorar opciones europeas sobre instrumentos que pagan dividendos. En este caso, las soluciones de forma cerrada están disponibles si el dividendo es una proporción conocida del precio de las acciones. Las opciones estadounidenses y las opciones sobre acciones que pagan un dividendo en efectivo conocido (a corto plazo, más realista que un dividendo proporcional) son más difíciles de valorar y hay una variedad de técnicas de solución disponibles (por ejemplo, celosías y cuadrículas ).
Instrumentos que pagan dividendos de rendimiento continuo
Para las opciones sobre índices, es razonable hacer la suposición simplificadora de que los dividendos se pagan continuamente y que el monto del dividendo es proporcional al nivel del índice.
El pago de dividendos pagado durante el período de tiempo luego se modela como
por alguna constante (el rendimiento por dividendo ).
Bajo esta formulación, se puede demostrar que el precio libre de arbitraje que implica el modelo Black-Scholes es
y
donde ahora
es el precio a plazo modificado que se produce en los términos :
y
- . [18]
Instrumentos que pagan dividendos proporcionales discretos
También es posible extender el marco Black-Scholes a opciones sobre instrumentos que pagan dividendos proporcionales discretos. Esto es útil cuando la opción se activa en una sola acción.
Un modelo típico es asumir que una proporción del precio de las acciones se paga en momentos predeterminados . El precio de la acción se modela luego como
dónde es el número de dividendos que se han pagado por tiempo .
El precio de una opción de compra sobre una acción de este tipo vuelve a ser
donde ahora
es el precio a plazo de las acciones que pagan dividendos.
Opciones americanas
El problema de encontrar el precio de una opción estadounidense está relacionado con el problema de parada óptima de encontrar el tiempo para ejecutar la opción. Dado que la opción estadounidense puede ejercerse en cualquier momento antes de la fecha de vencimiento, la ecuación de Black-Scholes se convierte en una desigualdad variacional de la forma
- [19]
Juntos con dónde denota la recompensa al precio de las acciones y la condición terminal: .
En general, esta desigualdad no tiene una solución de forma cerrada, aunque un call americano sin dividendos es igual a un call europeo y el método Roll-Geske-Whaley proporciona una solución para un call americano con un dividendo; [20] [21] véase también la aproximación de Black .
Barone-Adesi y Whaley [22] es otra fórmula de aproximación. Aquí, la ecuación diferencial estocástica (que es válida para el valor de cualquier derivado) se divide en dos componentes: el valor de la opción europea y la prima de ejercicio anticipado. Con algunos supuestos, se obtiene una ecuación cuadrática que se aproxima a la solución de este último. Esta solución implica encontrar el valor crítico ,, de tal manera que uno es indiferente entre el ejercicio temprano y mantenerlo hasta la madurez. [23] [24]
Bjerksund y Stensland [25] proporcionan una aproximación basada en una estrategia de ejercicio correspondiente a un precio de activación. Aquí, si el precio del activo subyacente es mayor o igual que el precio de activación, es óptimo ejercerlo y el valor debe ser igual, de lo contrario, la opción "se reduce a: (i) una opción call europea al alza ... y (ii) un descuento que se recibe en la fecha de eliminación si la opción se elimina antes de la fecha de vencimiento". La fórmula se modifica fácilmente para la valoración de una opción de venta, utilizando la paridad de compra y venta . Esta aproximación es económica desde el punto de vista computacional y el método es rápido, con evidencia que indica que la aproximación puede ser más precisa en la fijación de precios de opciones a largo plazo que Barone-Adesi y Whaley. [26]
Puesto perpetuo
A pesar de la falta de una solución analítica general para las opciones de venta estadounidenses, es posible derivar dicha fórmula para el caso de una opción perpetua, lo que significa que la opción nunca expira (es decir, ). [27] En este caso, el tiempo de caída de la opción es igual a cero, lo que lleva a que el PDE de Black-Scholes se convierta en un ODE:
Opciones binarias
Al resolver la ecuación diferencial de Black-Scholes, con la función de Heaviside como condición de límite , terminamos con el precio de las opciones que pagan una unidad por encima de un precio de ejercicio predefinido y nada por debajo. [28]
De hecho, la fórmula de Black-Scholes para el precio de una opción de compra de vainilla (u opción de venta) se puede interpretar descomponiendo una opción de compra en una opción de compra de activo o nada menos una opción de compra de efectivo o nada, y de manera similar Por un lado, las opciones binarias son más fáciles de analizar y corresponden a los dos términos de la fórmula de Black-Scholes.
Llamada en efectivo o nada
Esto paga una unidad de efectivo si el spot está por encima del ejercicio al vencimiento. Su valor viene dado por
Poner efectivo o nada
Esto paga una unidad de efectivo si el spot está por debajo del ejercicio al vencimiento. Su valor viene dado por
Llamada de activo o nada
Esto paga una unidad de activo si el spot está por encima del strike al vencimiento. Su valor viene dado por
Poner activo o nada
Esto paga una unidad de activo si el spot está por debajo del ejercicio al vencimiento. Su valor viene dado por
Divisas
Si denotamos por S el tipo de cambio FOR / DOM (es decir, 1 unidad de moneda extranjera vale S unidades de moneda nacional) podemos observar que pagar 1 unidad de la moneda nacional si el spot al vencimiento está por encima o por debajo del strike es exactamente como una opción de compra y venta de efectivo o nada, respectivamente. De manera similar, pagar 1 unidad de la moneda extranjera si el spot al vencimiento está por encima o por debajo del strike es exactamente como un call y put de activo o nada, respectivamente. Por lo tanto, si ahora tomamos, la tasa de interés extranjera, , la tasa de interés doméstica, y el resto como arriba, obtenemos los siguientes resultados.
En el caso de una llamada digital (esta es una llamada FOR / put DOM) pagando una unidad de la moneda nacional que obtenemos como valor presente,
En el caso de un put digital (esto es un put FOR / call DOM) pagando una unidad de la moneda nacional que obtenemos como valor presente,
Mientras que en el caso de una llamada digital (esta es una llamada FOR / put DOM) pagando una unidad de la moneda extranjera que obtenemos como valor presente,
y en el caso de un put digital (esto es un put FOR / call DOM) pagando una unidad de la moneda extranjera que obtenemos como valor presente,
Sesgar
En el modelo estándar de Black-Scholes, se puede interpretar la prima de la opción binaria en el mundo neutral al riesgo como el valor esperado = probabilidad de estar dentro del dinero * unidad, descontada al valor presente. El modelo de Black-Scholes se basa en la simetría de distribución e ignora la asimetría de la distribución del activo. Los creadores de mercado se ajustan a tal sesgo, en lugar de utilizar una única desviación estándar para el activo subyacente en todas las huelgas, incorporando una variable donde la volatilidad depende del precio de ejercicio, incorporando así el sesgo de volatilidad en cuenta. El sesgo importa porque afecta al binario considerablemente más que a las opciones normales.
Una opción de compra binaria es, en vencimientos largos, similar a un margen de compra ajustado utilizando dos opciones de vainilla. Se puede modelar el valor de una opción binaria de efectivo o nada, C , en el strike K , como un diferencial infinitesimalmente ajustado, dondees una llamada europea vainilla: [29] [30]
Por lo tanto, el valor de una llamada binaria es el negativo de la derivada del precio de una llamada de vainilla con respecto al precio de ejercicio:
Cuando se tiene en cuenta el sesgo de volatilidad, es una función de :
El primer término es igual a la prima de la opción binaria ignorando el sesgo:
es la Vega de la vainilla llamada;a veces se le llama "inclinación oblicua" o simplemente "oblicuidad". Si el sesgo es típicamente negativo, el valor de una llamada binaria será mayor si se tiene en cuenta el sesgo.
Relación con los griegos de las opciones de vainilla
Dado que una llamada binaria es un derivado matemático de una llamada vainilla con respecto al strike, el precio de una llamada binaria tiene la misma forma que el delta de una llamada vainilla, y el delta de una llamada binaria tiene la misma forma que la gamma de una llamada de vainilla.
Black – Scholes en la práctica
Los supuestos del modelo de Black-Scholes no son todos empíricamente válidos. El modelo se emplea ampliamente como una aproximación útil a la realidad, pero una aplicación adecuada requiere comprender sus limitaciones: seguir ciegamente el modelo expone al usuario a riesgos inesperados. [31] [ fuente no confiable? ] Entre las limitaciones más importantes se encuentran:
- la subestimación de movimientos extremos, lo que genera un riesgo de cola , que puede cubrirse con opciones fuera del dinero ;
- la asunción de una negociación instantánea y rentable, que genera un riesgo de liquidez , que es difícil de cubrir;
- la asunción de un proceso estacionario, que genera riesgo de volatilidad , que puede cubrirse con cobertura de volatilidad;
- la asunción de tiempo continuo y negociación continua, generando riesgo de brecha, que puede cubrirse con cobertura Gamma.
En resumen, mientras que en el modelo Black-Scholes se pueden cubrir perfectamente las opciones simplemente con una cobertura Delta , en la práctica existen muchas otras fuentes de riesgo.
Los resultados que utilizan el modelo de Black-Scholes difieren de los precios del mundo real porque simplifican los supuestos del modelo. Una limitación significativa es que, en realidad, los precios de los valores no siguen un proceso logarítmico normal estricto y estacionario , ni se conoce realmente el interés libre de riesgo (y no es constante en el tiempo). Se ha observado que la varianza no es constante, lo que lleva a modelos como GARCH para modelar cambios de volatilidad. Las discrepancias en la fijación de precios entre el modelo empírico y el de Black-Scholes se han observado durante mucho tiempo en opciones que están muy fuera del dinero , correspondientes a cambios extremos de precios; Tales eventos serían muy raros si los retornos se distribuyeran de manera logarítmica normal, pero se observan con mucha más frecuencia en la práctica.
No obstante, la fijación de precios de Black-Scholes se utiliza ampliamente en la práctica, [2] : 751 [32] porque es:
- fácil de calcular
- una aproximación útil, especialmente al analizar la dirección en la que se mueven los precios al cruzar puntos críticos
- una base sólida para modelos más refinados
- reversible, ya que el producto original del modelo, el precio, se puede usar como un insumo y una de las otras variables se puede resolver; la volatilidad implícita calculada de esta manera se utiliza a menudo para cotizar los precios de las opciones (es decir, como una convención de cotización ).
El primer punto es evidentemente útil. Los otros se pueden discutir más a fondo:
Aproximación útil: aunque la volatilidad no es constante, los resultados del modelo a menudo son útiles para establecer coberturas en las proporciones correctas para minimizar el riesgo. Incluso cuando los resultados no son completamente precisos, sirven como una primera aproximación a la que se pueden hacer ajustes.
Base para modelos más refinados: el modelo Black-Scholes es robusto porque se puede ajustar para hacer frente a algunas de sus fallas. En lugar de considerar algunos parámetros (como la volatilidad o las tasas de interés) como constantes, se los considera variables y , por lo tanto, fuentes de riesgo agregadas. Esto se refleja en los griegos (el cambio en el valor de la opción por un cambio en estos parámetros, o equivalentemente las derivadas parciales con respecto a estas variables), y la cobertura de estos griegos mitiga el riesgo causado por la naturaleza no constante de estos parámetros. Sin embargo, otros defectos no pueden mitigarse modificando el modelo, en particular el riesgo de cola y el riesgo de liquidez, y estos se gestionan fuera del modelo, principalmente minimizando estos riesgos y mediante pruebas de resistencia .
Modelado explícito: esta característica significa que, en lugar de asumir una volatilidad a priori y calcular precios a partir de ella, se puede usar el modelo para resolver la volatilidad, lo que da la volatilidad implícita de una opción a precios, duraciones y precios de ejercicio dados. Al resolver la volatilidad en un conjunto dado de duraciones y precios de ejercicio, se puede construir una superficie de volatilidad implícita . En esta aplicación del modelo de Black-Scholes, se obtiene una transformación de coordenadas del dominio de precios al dominio de volatilidad . En lugar de cotizar los precios de las opciones en términos de dólares por unidad (que son difíciles de comparar entre strikes, duraciones y frecuencias de cupones), los precios de las opciones se pueden cotizar en términos de volatilidad implícita, lo que conduce a la negociación de volatilidad en los mercados de opciones.
La sonrisa de volatilidad
Una de las características atractivas del modelo Black-Scholes es que los parámetros del modelo distintos de la volatilidad (el tiempo hasta el vencimiento, el ejercicio, la tasa de interés libre de riesgo y el precio subyacente actual) son inequívocamente observables. En igualdad de condiciones, el valor teórico de una opción es una función creciente monótona de la volatilidad implícita.
Al calcular la volatilidad implícita para las opciones negociadas con diferentes strikes y vencimientos, se puede probar el modelo Black-Scholes. Si se mantuviera el modelo Black-Scholes, entonces la volatilidad implícita para una acción en particular sería la misma para todos los strikes y vencimientos. En la práctica, la superficie de volatilidad (el gráfico en 3D de la volatilidad implícita contra el ejercicio y el vencimiento) no es plana.
La forma típica de la curva de volatilidad implícita para un vencimiento determinado depende del instrumento subyacente. Las acciones tienden a tener curvas sesgadas: en comparación con el precio del dinero , la volatilidad implícita es sustancialmente más alta para los strikes bajos y ligeramente más baja para los strikes altos. Las monedas tienden a tener curvas más simétricas, con la volatilidad implícita más baja en el dinero y volatilidades más altas en ambas alas. Las materias primas a menudo tienen un comportamiento inverso al de las acciones, con una mayor volatilidad implícita para los strikes más altos.
A pesar de la existencia de la sonrisa de volatilidad (y la violación de todos los demás supuestos del modelo Black-Scholes), la fórmula Black-Scholes PDE y Black-Scholes todavía se utilizan ampliamente en la práctica. Un enfoque típico es considerar la superficie de volatilidad como un hecho sobre el mercado y utilizar una volatilidad implícita de ella en un modelo de valoración de Black-Scholes. Esto se ha descrito como el uso de "el número incorrecto en la fórmula incorrecta para obtener el precio correcto". [33] Este enfoque también proporciona valores utilizables para los coeficientes de cobertura (los griegos). Incluso cuando se utilizan modelos más avanzados, los operadores prefieren pensar en términos de volatilidad implícita de Black-Scholes, ya que les permite evaluar y comparar opciones de diferentes vencimientos, strikes, etc. Para una discusión sobre los diversos enfoques alternativos desarrollados aquí, consulte Economía financiera § Desafíos y críticas .
Valorar las opciones de bonos
Black-Scholes no se puede aplicar directamente a los valores de bonos debido al pull-to-par . A medida que el bono alcanza su fecha de vencimiento, se conocen todos los precios involucrados con el bono, lo que disminuye su volatilidad, y el modelo simple de Black-Scholes no refleja este proceso. Se ha utilizado una gran cantidad de extensiones de Black-Scholes, comenzando con el modelo Black , para hacer frente a este fenómeno. [34] Véase la opción de bonos § Valoración .
Curva de tipos de interés
En la práctica, las tasas de interés no son constantes: varían según el plazo (frecuencia del cupón), lo que genera una curva de tasa de interés que puede interpolarse para elegir una tasa adecuada para usar en la fórmula Black-Scholes. Otra consideración es que las tasas de interés varían con el tiempo. Esta volatilidad puede hacer una contribución significativa al precio, especialmente de las opciones a largo plazo. Esto es simplemente como la relación entre la tasa de interés y el precio de los bonos, que está inversamente relacionada.
Tasa de acciones cortas
Tomar una posición corta en acciones , como inherente a la derivación, no suele estar libre de costos; de manera equivalente, es posible prestar una posición larga en acciones por una pequeña tarifa . En cualquier caso, esto puede tratarse como un dividendo continuo a los efectos de una valoración de Black-Scholes, siempre que no exista una asimetría evidente entre el costo de endeudamiento de acciones a corto y los ingresos por préstamos de acciones a largo plazo. [ cita requerida ]
Críticas y comentarios
Espen Gaarder Haug y Nassim Nicholas Taleb argumentan que el modelo de Black-Scholes simplemente reformula los modelos existentes ampliamente utilizados en términos de "cobertura dinámica" prácticamente imposible en lugar de "riesgo", para hacerlos más compatibles con la teoría económica neoclásica dominante . [35] También afirman que Boness en 1964 ya había publicado una fórmula que es "realmente idéntica" a la ecuación de precios de opciones de compra de Black-Scholes. [36] Edward Thorp también afirma haber adivinado la fórmula Black-Scholes en 1967, pero se la guardó para ganar dinero para sus inversores. [37] Emanuel Derman y Nassim Taleb también han criticado la cobertura dinámica y afirman que varios investigadores habían presentado modelos similares antes de Black y Scholes. [38] En respuesta, Paul Wilmott ha defendido el modelo. [32] [39]
En su carta de 2008 a los accionistas de Berkshire Hathaway , Warren Buffett escribió: "Creo que la fórmula Black-Scholes, aunque es el estándar para establecer la responsabilidad en dólares para las opciones, produce resultados extraños cuando se valora la variedad a largo plazo ... La fórmula de Black-Scholes se ha acercado al estatus de escritura sagrada en las finanzas ... Sin embargo, si la fórmula se aplica a períodos de tiempo prolongados, puede producir resultados absurdos. Para ser justos, Black y Scholes casi con certeza entendieron bien este punto . Pero sus devotos seguidores pueden estar ignorando las advertencias que los dos hombres agregaron cuando dieron a conocer la fórmula por primera vez ". [40]
El matemático británico Ian Stewart, autor del libro de 2012 titulado En busca de lo desconocido: 17 ecuaciones que cambiaron el mundo [41] [42], dijo que Black-Scholes había "apuntalado el crecimiento económico masivo" y que el "sistema financiero internacional estaba negociando derivados valorados en un cuatrillón de dólares por año "en 2007. Dijo que la ecuación de Black-Scholes era la" justificación matemática para el comercio "y, por lo tanto," un ingrediente en un rico guiso de irresponsabilidad financiera, ineptitud política, incentivos perversos y regulación laxa "que contribuyó a la crisis financiera de 2007-08 . [43] Aclaró que "la ecuación en sí no era el problema real", sino su abuso en la industria financiera. [43]
Ver también
- Modelo de opciones binomiales , un método numérico discreto para calcular los precios de las opciones
- Modelo negro , una variante del modelo de precios de opciones de Black-Scholes
- Black Shoals , una obra de arte financiera
- Modelo browniano de mercados financieros
- Matemáticas financieras (contiene una lista de artículos relacionados)
- Método de pago difuso para la valoración de opciones reales
- Ecuación de calor , a la que se puede transformar el PDE de Black-Scholes
- Difusión de salto
- Modelo de opciones de Monte Carlo , utilizando simulación en la valoración de opciones con características complicadas
- Análisis de opciones reales
- Volatilidad estocástica
Notas
- ^ Aunque el modelo original no asumía dividendos, las extensiones triviales del modelo pueden acomodar un factor de rendimiento de dividendos continuo.
Referencias
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Referencias primarias
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- Thorp, Ed. "Un hombre para todos los mercados" Random House, 2017. ISBN 9781400067961
Otras lecturas
- Haug, E. G (2007). "Opción de precios y cobertura de la teoría a la práctica". Derivadas: modelos sobre modelos . Wiley. ISBN 978-0-470-01322-9. El libro ofrece una serie de referencias históricas que respaldan la teoría de que los operadores de opciones utilizan principios de cobertura y precios mucho más sólidos que el modelo Black, Scholes y Merton.
- Triana, Pablo (2009). Sermonear a los pájaros sobre el vuelo: ¿Pueden las teorías matemáticas destruir los mercados financieros? . Wiley. ISBN 978-0-470-40675-5. El libro analiza críticamente el modelo de Black, Scholes y Merton.
enlaces externos
Discusión del modelo
- Ajay Shah. Black, Merton y Scholes: su trabajo y sus consecuencias. Economic and Political Weekly, XXXII (52): 3337–3342, diciembre de 1997
- La ecuación matemática que provocó la caída de los bancos por Ian Stewart en The Observer , 12 de febrero de 2012
- Cuando no se puede realizar una cobertura continua: las correcciones a Black-Scholes , Emanuel Derman
- The Skinny On Options TastyTrade Show (archivos)
Derivación y solución
- Derivación de la ecuación de Black-Scholes para el valor de la opción , Prof. Thayer Watkins
- Solución de la ecuación de Black-Scholes utilizando la función de Green , Prof. Dennis Silverman
- Solución a través de precios neutrales al riesgo o mediante el enfoque PDE utilizando transformadas de Fourier (incluye discusión de otros tipos de opciones), Simon Leger
- Solución paso a paso del PDE de Black-Scholes , planetmath.org.
- El artículo expositivo de la ecuación de Black-Scholes por el matemático Terence Tao .
Implementaciones informáticas
- Black – Scholes en varios idiomas
- Black – Scholes en Java -moviéndose al enlace de abajo-
- Black – Scholes en Java
- Modelo de fijación de precios de opciones de Chicago (versión gráfica)
- Modelo de superficie de volatilidad implícita de Black-Scholes-Merton (Java)
- Calculadora en línea Black-Scholes
Histórico
- Trillion Dollar Bet : sitio web que acompaña a un episodio de Nova transmitido originalmente el 8 de febrero de 2000 ". La película cuenta la fascinante historia de la invención de la fórmula Black-Scholes, un Santo Grial matemático que alteró para siempre el mundo de las finanzas y obtuvo su creadores del Premio Nobel de Economía de 1997 ".
- BBC Horizon Un programa de televisión sobre la llamada fórmula de Midas y la quiebra de Long-Term Capital Management (LTCM)
- BBC News Magazine Black – Scholes: La fórmula matemática vinculada al colapso financiero (artículo del 27 de abril de 2012)