En el estudio de álgebras geométricas , una hoja es una generalización del concepto de escalares y vectores para incluir bivectores simples , trivectores , etc. Específicamente, una hoja k es cualquier objeto que pueda expresarse como el producto exterior (informalmente producto de cuña ) de k vectores, y es de grado k .
En detalle: [1]
- Una hoja 0 es un escalar .
- Una hoja es un vector . Cada vector es simple.
- Un 2-blade es un bivector simple . Las combinaciones lineales de 2 palas también son bivectores, pero no tienen por qué ser simples y, por lo tanto, no son necesariamente de 2 palas. A 2-cuchilla se puede expresar como el producto de cuña de dos vectores a y b :
- A 3-cuchilla es un trivector simple, es decir, que se puede expresar como el producto de cuña de tres vectores un , b , y c :
- En un espacio vectorial de dimensión n , una hoja de grado n - 1 se denomina pseudovector [2] o antivector . [3]
- El elemento de grado más alto en un espacio se llama pseudoescalar , y en un espacio de dimensión n es una hoja n . [4]
- En un espacio vectorial de dimensión n , hay k ( n - k ) + 1 dimensiones de libertad al elegir una k- cuchilla, de las cuales una dimensión es un multiplicador de escala general. [5]
Para un espacio n -dimensional, hay hojas de todos los grados desde 0 hasta n inclusive. Un subespacio vectorial de dimensión finita k puede representarse mediante la k- hoja formada como un producto de cuña de todos los elementos de una base para ese subespacio. [6] De hecho, un k -blade es naturalmente equivalente a un k -subespacio dotado de una forma de volumen (una función alterna de valores escalares k -multilineales) normalizada para tomar un valor unitario en el k -blade.
Ejemplos de
En el espacio bidimensional, los escalares se describen como hojas 0, los vectores son 1 hojas y los elementos de área son 2 hojas conocidas como pseudoescalares , ya que son elementos de un espacio unidimensional distinto de los escalares regulares.
En el espacio tridimensional, las láminas 0 son nuevamente escalares y las láminas 1 son vectores tridimensionales, mientras que las láminas 2 son elementos de área orientados. Aquí, las 3 palas representan elementos de volumen tridimensionales, que forman un espacio vectorial unidimensional similar a los escalares. A diferencia de los escalares, las 3 hojas se transforman de acuerdo con el determinante jacobiano de una función de cambio de coordenadas .
Ver también
Notas
- ^ Marcos A. Rodrigues (2000). "§1.2 Álgebra geométrica: un esquema". Invariantes para el reconocimiento y clasificación de patrones . World Scientific. pag. 3 y sigs . ISBN 981-02-4278-6.
- ^ William E Baylis (2004). "§4.2.3 Multivectores de grado superior en Cℓ n : Duals". Conferencias sobre álgebras y aplicaciones de Clifford (geométricas) . Birkhäuser. pag. 100. ISBN 0-8176-3257-3.
- ^ Lengyel, Eric (2016). Fundamentos del desarrollo de motores de juegos, Volumen 1: Matemáticas . Terathon Software LLC. ISBN 978-0-9858117-4-7.
- ^ John A. Vince (2008). Álgebra geométrica para gráficos por computadora . Saltador. pag. 85. ISBN 1-84628-996-3.
- ^ Para Grassmannians (incluido el resultado sobre la dimensión) un buen libro es: Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523. La prueba de la dimensionalidad es realmente sencilla. Toma k vectores y únelosy realizar operaciones de columna elementales en estos (factorizando los pivotes) hasta que el bloque superior k × k sean vectores de base elemental de. A continuación, el producto de la cuña se parametriza mediante el producto de los pivotes y el bloque inferior k × ( n - k ) . Compárese también con la dimensión de un Grassmanniano , k ( n - k ) , en el que se elimina el multiplicador escalar.
- ^ David Hestenes (1999). Nuevos fundamentos de la mecánica clásica: Teorías fundamentales de la física . Saltador. pag. 54. ISBN 0-7923-5302-1.
Referencias
- David Hestenes ; Garret Sobczyk (1987). "Capítulo 1: Álgebra geométrica". Álgebra de Clifford al cálculo geométrico: un lenguaje unificado para matemáticas y física . Saltador. pag. 1 ff . ISBN 90-277-2561-6.
- Chris Doran y Anthony Lasenby (2003). Álgebra geométrica para físicos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-48022-1.
- A Lasenby, J Lasenby & R Wareham (2004) Un enfoque covariante de la geometría utilizando el informe técnico de álgebra geométrica . Departamento de Ingeniería de la Universidad de Cambridge, Cambridge, Reino Unido.
- R Wareham; J Cameron y J Lasenby (2005). "Aplicaciones del álgebra geométrica conforme a la visión por computadora y la gráfica". En Hongbo Li; Peter J. Olver y Gerald Sommer (eds.). Álgebra informática y álgebra geométrica con aplicaciones . Saltador. pag. 329 y sigs . ISBN 3-540-26296-2.
enlaces externos
- Una cartilla de álgebra geométrica , especialmente para científicos informáticos.