En matemáticas , el álgebra geométrica ( GA ) de un espacio vectorial con una forma cuadrática (generalmente la métrica euclidiana o la métrica de Lorentz) es un álgebra sobre un campo , el álgebra de Clifford de un espacio vectorial con una forma cuadrática con su operación de multiplicación llamada el producto geométrico . Los elementos del álgebra se denominan multivectores , que contienen tanto los escalares y el espacio vectorial .
La contribución de Clifford fue definir un nuevo producto, el producto geométrico, que unificó las álgebras de Grassmann y Hamilton en una sola estructura. Adición de la dual del producto exterior Grassmann (el "meet") permite el uso de la álgebra de Grassmann-Cayley , y una versión de conformación de este último junto con un conformal Clifford álgebra produce un álgebra geométrica conformal (CGA) proporcionando un marco para clásica geometrías . [1] En la práctica, estas y varias operaciones derivadas permiten una correspondencia de elementos, subespacios y operaciones del álgebra con interpretaciones geométricas.
Los escalares y los vectores tienen su interpretación habitual y forman distintos subespacios de un GA. Los bivectores proporcionan una representación más natural de las cantidades de pseudovectores en el álgebra vectorial , como el área orientada, el ángulo de rotación orientado, el par, el momento angular, el campo electromagnético y el vector de Poynting . Un trivector puede representar un volumen orientado, etc. Un elemento llamado hoja se puede utilizar para representar un subespacio dey proyecciones ortogonales en ese subespacio. Las rotaciones y reflexiones se representan como elementos. A diferencia del álgebra vectorial, un AG se adapta naturalmente a cualquier número de dimensiones y cualquier forma cuadrática, como en la relatividad .
Ejemplos de álgebras geométricas aplicadas en física incluyen el álgebra del espacio-tiempo (y el álgebra menos común del espacio físico ) y el álgebra geométrica conforme . El cálculo geométrico , una extensión de GA que incorpora diferenciación e integración , se puede utilizar para formular otras teorías como el análisis complejo y la geometría diferencial , por ejemplo, utilizando el álgebra de Clifford en lugar de formas diferenciales . El álgebra geométrica ha sido defendida, sobre todo por David Hestenes [2] y Chris Doran , [3] como el marco matemático preferido para la física . Los defensores afirman que proporciona descripciones compactas e intuitivas en muchas áreas, incluida la mecánica clásica y cuántica , la teoría electromagnética y la relatividad . [4] GA también ha encontrado uso como herramienta computacional en gráficos por computadora [5] y robótica .
El producto geométrico fue mencionado brevemente por primera vez por Hermann Grassmann , [6] quien estaba principalmente interesado en desarrollar el álgebra exterior estrechamente relacionada . En 1878, William Kingdon Clifford amplió enormemente el trabajo de Grassmann para formar lo que ahora se suele llamar álgebras de Clifford en su honor (aunque el propio Clifford eligió llamarlas "álgebras geométricas"). Durante varias décadas, las álgebras geométricas fueron un tanto ignoradas, eclipsadas en gran medida por el cálculo vectorial desarrollado recientemente para describir el electromagnetismo. El término "álgebra geométrica" fue repopularizado en la década de 1960 por Hestenes , quien defendió su importancia para la física relativista. [7]
Definición y notación
Hay varias formas diferentes de definir un álgebra geométrica. El enfoque original de Hestenes era axiomático, [8] "lleno de significado geométrico" y equivalente al álgebra de Clifford universal. [9] Dado un espacio cuadrático de dimensión finita sobre un campo con una forma bilineal simétrica (el producto interno , por ejemplo, la métrica euclidiana o lorentziana ), el álgebra geométrica para este espacio cuadrático es el álgebra de Clifford . Como es habitual en este dominio, durante el resto de este artículo, solo el caso real ,, será considerado. La notación (respectivamente ) se utilizará para denotar un álgebra geométrica para la cual la forma bilineal tiene la firma (respectivamente ).
El producto esencial en el álgebra se llama producto geométrico , y el producto en el álgebra exterior contenida se llama producto exterior (frecuentemente llamado producto de cuña y menos frecuentemente producto exterior [a] ). Es estándar denotar estos respectivamente por yuxtaposición (es decir, suprimiendo cualquier símbolo de multiplicación explícito) y el símbolo. La definición anterior del álgebra geométrica es abstracta, por lo que resumimos las propiedades del producto geométrico mediante el siguiente conjunto de axiomas. El producto geométrico tiene las siguientes propiedades, por:
- ( cierre )
- , dónde es el elemento de identidad (existencia de un elemento de identidad )
- ( asociatividad )
- y ( distributividad )
- , dónde es cualquier elemento del subespacio del álgebra.
El producto exterior tiene las mismas propiedades, excepto que la última propiedad anterior se reemplaza por por .
Tenga en cuenta que en la última propiedad anterior, el número real no es necesario que no sea negativo si no es positivo-definido. Una propiedad importante del producto geométrico es la existencia de elementos que tienen un inverso multiplicativo. Por un vector, Si luego existe y es igual a . Un elemento distinto de cero del álgebra no necesariamente tiene un inverso multiplicativo. Por ejemplo, si es un vector en tal que , el elemento es un elemento idempotente no trivial y un divisor de cero distinto de cero , y por lo tanto no tiene inverso. [B]
Es habitual identificar y con sus imágenes bajo las incrustaciones naturales y . En este artículo, se asume esta identificación. En todas partes, los términos escalar y vector se refieren a elementos de y respectivamente (y de sus imágenes bajo esta incrustación).
El producto geométrico
Para vectores y , podemos escribir el producto geométrico de dos vectores cualesquiera y como la suma de un producto simétrico y un producto antisimétrico:
Por tanto, podemos definir el producto interno [c] de los vectores como
de modo que el producto simétrico se puede escribir como
En cambio, está completamente determinado por el álgebra. La parte antisimétrica es el producto exterior de los dos vectores, el producto del álgebra exterior contenida :
Luego, por simple suma:
- la forma no generalizada o vectorial del producto geométrico.
Los productos internos y externos están asociados con conceptos familiares del álgebra vectorial estándar. Geométricamente, y son paralelas si su producto geométrico es igual a su producto interno, mientras que y son perpendiculares si su producto geométrico es igual a su producto exterior. En un álgebra geométrica para la cual el cuadrado de cualquier vector distinto de cero es positivo, el producto interno de dos vectores se puede identificar con el producto escalar del álgebra de vectores estándar. El producto exterior de dos vectores se puede identificar con el área firmada encerrada por un paralelogramo cuyos lados son los vectores. El producto cruzado de dos vectores en Las dimensiones con forma cuadrática positiva-definida están estrechamente relacionadas con su producto exterior.
La mayoría de los casos de álgebras geométricas de interés tienen una forma cuadrática no degenerada. Si la forma cuadrática está completamente degenerada , el producto interno de dos vectores cualesquiera es siempre cero, y el álgebra geométrica es simplemente un álgebra exterior. A menos que se indique lo contrario, este artículo tratará solo álgebras geométricas no degeneradas.
El producto exterior se extiende naturalmente como un operador binario bilineal asociativo entre dos elementos cualesquiera del álgebra, satisfaciendo las identidades
donde la suma es sobre todas las permutaciones de los índices, con el signo de la permutación , yson vectores (no elementos generales del álgebra). Dado que cada elemento del álgebra puede expresarse como la suma de productos de esta forma, esto define el producto exterior para cada par de elementos del álgebra. De la definición se deduce que el producto exterior forma un álgebra alterna .
Hojas, grados y base canónica
Un multivector que es el producto exterior de vectores linealmente independientes se llama cuchilla , y se dice que es de grado. [e] Un multivector que es la suma de hojas de grado se llama multivector (homogéneo) de grado . De los axiomas, con cierre, cada multivector del álgebra geométrica es una suma de hojas.
Considere un conjunto de vectores linealmente independientes abarcando un -subespacio dimensional del espacio vectorial. Con estos, podemos definir una matriz simétrica real (de la misma manera que una matriz de Gramian )
Por el teorema espectral ,se puede diagonalizar a una matriz diagonal por una matriz ortogonal vía
Definir un nuevo conjunto de vectores , conocidos como vectores de base ortogonal, son los transformados por la matriz ortogonal:
Dado que las transformaciones ortogonales conservan los productos internos, se sigue que y así el son perpendiculares. En otras palabras, el producto geométrico de dos vectores distintos está completamente especificado por su producto exterior, o más generalmente
Por lo tanto, cada hoja de grado puede escribirse como un producto geométrico de vectores. De manera más general, si se permite un álgebra geométrica degenerada, entonces la matriz ortogonal se reemplaza por una matriz de bloques que es ortogonal en el bloque no degenerado, y la matriz diagonal tiene entradas de valor cero a lo largo de las dimensiones degeneradas. Si los nuevos vectores del subespacio no degenerado se normalizan de acuerdo con
entonces estos vectores normalizados deben cuadrar a o . Según la ley de inercia de Sylvester , el número total desy el número total de s a lo largo de la matriz diagonal es invariante. Por extensión, el número total de estos vectores que cuadran con y el número total ese cuadrado a es invariante. (El número total de vectores base que cuadran a cero también es invariante, y puede ser distinto de cero si se permite el caso degenerado). Denotamos este álgebra. Por ejemplo,modela el espacio euclidiano tridimensional ,espaciotiempo relativista yun álgebra geométrica conforme de un espacio tridimensional.
El conjunto de todos los posibles productos de vectores de base ortogonal con índices en orden creciente, incluyendo como el producto vacío, forma una base para todo el álgebra geométrica (un análogo del teorema PBW ). Por ejemplo, lo siguiente es una base para el álgebra geométrica:
Una base formada de esta manera se llama base canónica para el álgebra geométrica, y cualquier otra base ortogonal paraproducirá otra base canónica. Cada base canónica consta deelementos. Cada multivector del álgebra geométrica se puede expresar como una combinación lineal de los elementos básicos canónicos. Si los elementos de la base canónica son con siendo un conjunto de índices, entonces el producto geométrico de cualesquiera dos multivectores es
La terminología "-vector "se encuentra a menudo para describir multivectores que contienen elementos de un solo grado. En el espacio dimensional superior, algunos de estos multivectores no son hojas (no se pueden factorizar en el producto exterior de vectores). A modo de ejemplo, en no se puede factorizar; sin embargo, típicamente tales elementos del álgebra no ceden a la interpretación geométrica como objetos, aunque pueden representar cantidades geométricas como rotaciones. Solo y -los vectores son siempre hojas en -espacio.
Proyección de pendiente
Utilizando una base ortogonal, se puede establecer una estructura de espacio vectorial graduada . Elementos del álgebra geométrica que son múltiplos escalares de son de gradoláminas y se llaman escalares . Multivectores que se encuentran en el lapso de son de gradocuchillas y son los vectores ordinarios. Multivectores en el lapso de son de gradocuchillas y son los bivectores. Esta terminología continúa hasta el último grado de-vectores. Alternativamente, grado-hojas se llaman pseudoescalares , grado-pseudovectores de láminas, etc. Muchos de los elementos del álgebra no están clasificados por este esquema, ya que son sumas de elementos de diferente grado. Se dice que estos elementos son de calidad mixta . La calificación de multivectores es independiente de la base elegida originalmente.
Esta es una calificación como espacio vectorial, pero no como álgebra. Porque el producto de un-hoja y un -La hoja está contenida en el lapso de mediante -hojas, el álgebra geométrica es un álgebra filtrada .
Un multivector puede descomponerse con el operador de proyección de pendiente , que genera el grado Una porcion de . Como resultado:
Como ejemplo, el producto geométrico de dos vectores desde y y , por otro que y .
La descomposición de un multivector también se puede dividir en los componentes que son pares y los que son impares:
Este es el resultado de olvidar la estructura de un - espacio vectorial graduado para- espacio vectorial calificado . El producto geométrico respeta esta clasificación más burda. Así, además de ser un- espacio vectorial graduado , el álgebra geométrica es un- álgebra graduada o superalgebra .
Restringiendo a la parte par, el producto de dos elementos pares también es par. Esto significa que los multivectores pares definen una subálgebra par . La subálgebra uniforme de un-El álgebra geométrica dimensional es isomórfica (sin preservar ni la filtración ni la clasificación) a un álgebra geométrica completa dedimensiones. Ejemplos incluyen y .
Representación de subespacios
El álgebra geométrica representa subespacios de como hojas, por lo que coexisten en la misma álgebra con vectores de . A-subespacio dimensional de se representa tomando una base ortogonal y usando el producto geométrico para formar la hoja . Hay varias hojas que representan; todos los que representan son múltiplos escalares de . Estas hojas se pueden dividir en dos conjuntos: múltiplos positivos de y múltiplos negativos de . Los múltiplos positivos dese dice que tienen la misma orientación quey los múltiplos negativos en la orientación opuesta .
Las cuchillas son importantes ya que las operaciones geométricas como proyecciones, rotaciones y reflejos dependen de la factorización a través del producto exterior que (la clase restringida de) -las cuchillas proporcionan pero que (la clase generalizada de) grado- los multivectores no cuando .
Unidad pseudoescalares
Los pseudoescalares unitarios son hojas que desempeñan un papel importante en la EG. Una unidad pseudoescalar para un subespacio no degenerado de es una hoja que es el producto de los miembros de una base ortonormal para . Se puede demostrar que si y son ambos pseudoescalares unitarios para , luego y . Si uno no elige una base ortonormal para, entonces la incrustación de Plücker da un vector en el álgebra exterior pero solo hasta la escala. Usando el isomorfismo del espacio vectorial entre el álgebra geométrica y el álgebra exterior, esto da la clase de equivalencia de para todos . La ortonormalidad elimina esta ambigüedad a excepción de los signos anteriores.
Supongamos que el álgebra geométrica con el familiar producto interior positivo definido en se forma. Dado un plano (subespacio bidimensional) de, se puede encontrar una base ortonormal que abarca el plano, y así encontrar una unidad pseudoescalar representando este plano. El producto geométrico de dos vectores cualesquiera en el lapso de y yace en , es decir, es la suma de un -vector y un -vector.
Por las propiedades del producto geométrico, . El parecido con la unidad imaginaria no es casual: el subespacio es -álgebra isomorfa a los números complejos . De esta manera, se incrusta una copia de los números complejos en el álgebra geométrica para cada subespacio bidimensional de en el que la forma cuadrática es definida.
A veces es posible identificar la presencia de una unidad imaginaria en una ecuación física. Tales unidades surgen de una de las muchas cantidades en el álgebra real que cuadran con, y estos tienen un significado geométrico debido a las propiedades del álgebra y la interacción de sus varios subespacios.
En , ocurre otro caso familiar. Dada una base canónica que consta de vectores ortonormales de , el conjunto de todos -vectores se abarcan por
Etiquetar estos , y (desviándose momentáneamente de nuestra convención de mayúsculas), el subespacio generado por -vectores y -vectores es exactamente . Este conjunto se ve como la subálgebra uniforme de, y además es isomorfo como un -álgebra a los cuaterniones , otro importante sistema algebraico.
Base dual
Dejar ser una base de , es decir, un conjunto de vectores linealmente independientes que abarcan el -espacio vectorial dimensional . La base que es dual paraes el conjunto de elementos del espacio vectorial dual que forma un sistema biortogonal con esta base, siendo así los elementos denotados satisfactorio
dónde es el delta de Kronecker .
Dada una forma cuadrática no degenerada en , se identifica naturalmente con , y la base dual puede considerarse como elementos de , pero no son en general el mismo conjunto que la base original.
Dado además un GA de , dejar
ser el pseudoescalar (que no necesariamente cuadra con ) formado a partir de la base . Los vectores de base dual se pueden construir como
donde el denota que el El vector base se omite del producto.
Extensiones de los productos interiores y exteriores.
Es una práctica común extender el producto exterior sobre vectores a todo el álgebra. Esto se puede hacer mediante el uso del operador de proyección de pendiente:
- (el producto exterior )
Esta generalización es consistente con la definición anterior que implica antisimetrización. Otra generalización relacionada con el producto exterior es el producto conmutador:
- (el producto del conmutador )
El producto regresivo (normalmente denominado "encuentro") es el producto dual del exterior (o "unión" en este contexto). [f] La doble especificación de elementos permite, para palas y , la intersección (o encuentro) donde se tomará la dualidad en relación con la hoja de grado más pequeña que contiene tanto y (la unión). [14]
con la unidad pseudoescalar del álgebra. El producto regresivo, como el producto exterior, es asociativo. [15]
El producto interno de los vectores también se puede generalizar, pero en más de una forma no equivalente. El artículo ( Dorst 2002 ) da un tratamiento completo de varios productos internos diferentes desarrollados para álgebras geométricas y sus interrelaciones, y la notación se toma de allí. Muchos autores usan el mismo símbolo que para el producto interno de los vectores para su extensión elegida (por ejemplo, Hestenes y Perwass). No ha surgido una notación coherente.
Entre estas varias generalizaciones diferentes del producto interno sobre vectores se encuentran:
- (la contracción izquierda )
- (la contracción correcta )
- (el producto escalar )
- (el producto "punto (gordo)") [g]
Dorst (2002) argumenta a favor del uso de contracciones con preferencia al producto interno de Hestenes; son algebraicamente más regulares y tienen interpretaciones geométricas más limpias. Varias identidades que incorporan las contracciones son válidas sin restricción de sus entradas. Por ejemplo,
Los beneficios de utilizar la contracción izquierda como una extensión del producto interno en los vectores incluyen que la identidad se extiende a para cualquier vector y multivector , y que la operación de proyección se extiende a para cualquier hoja y cualquier multivector (con una modificación menor para dar cabida a null , dado a continuación ).
Funciones lineales
Aunque es más fácil trabajar con un versor porque se puede representar directamente en el álgebra como un multivector, los versores son un subgrupo de funciones lineales en multivectores, que aún se pueden usar cuando sea necesario. El álgebra geométrica de un-el espacio vectorial dimensional se divide en una base de elementos. Si un multivector está representado por unmatriz de columna real de coeficientes de una base del álgebra, entonces todas las transformaciones lineales del multivector se pueden expresar como la multiplicación de la matriz por unmatriz real. Sin embargo, tal transformación lineal general permite intercambios arbitrarios entre grados, como una "rotación" de un escalar en un vector, que no tiene una interpretación geométrica evidente.
Es de interés una transformación lineal general de vectores a vectores. Con la restricción natural de preservar el álgebra exterior inducida, el morfismo exterior de la transformación lineal es la única extensión [h] del versor. Si es una función lineal que mapea vectores a vectores, entonces su morfismo externo es la función que obedece a la regla
para una hoja, extendido a todo el álgebra a través de la linealidad.
Modelado de geometrías
Aunque se ha prestado mucha atención a la CGA, cabe señalar que GA no es solo un álgebra, sino que pertenece a una familia de álgebras con la misma estructura esencial. [dieciséis]
Modelo de espacio vectorial
puede considerarse como una extensión o finalización del álgebra vectorial . De vectores a álgebra geométrica cubre la geometría analítica básica y ofrece una introducción a la proyección estereográfica. [17]
La incluso subálgebra dees isomorfo a los números complejos , como puede verse escribiendo un vector en términos de sus componentes en una base ortonormal y se deja multiplicando por el vector base , cediendo
donde identificamos desde
Del mismo modo, la subálgebra par de con base es isomorfo a los cuaterniones como puede verse al identificar, y .
Cada álgebra asociativa tiene una representación matricial; Reemplazar los tres vectores base cartesianos por las matrices de Pauli da una representación de:
Punteando el " vector de Pauli " (una díada ):
- con vectores arbitrarios y y multiplicar por da:
- (De manera equivalente, por inspección, ( × ))
Modelo de espacio-tiempo
En física, las principales aplicaciones son el álgebra geométrica del espacio-tiempo 3 + 1 de Minkowski ,, llamado álgebra espaciotemporal (STA), [7] o con menos frecuencia,, interpretó el álgebra del espacio físico (APS).
Mientras que en STA los puntos del espacio-tiempo se representan simplemente por vectores, en APS, los puntos de -el espacio-tiempo dimensional se representa en cambio por paravectores : un vector tridimensional (espacio) más un escalar unidimensional (tiempo).
En el álgebra del espacio-tiempo, el tensor del campo electromagnético tiene una representación bivector . [18] Aquí, el es la unidad pseudoescalar (o elemento de volumen de cuatro dimensiones), es el vector unitario en la dirección del tiempo, y y son los vectores de campo eléctrico y magnético clásicos (con un componente de tiempo cero). Usando la corriente de cuatro , Las ecuaciones de Maxwell se convierten en
Formulación Ecuaciones homogéneas Ecuaciones no homogéneas Campos Potenciales (cualquier calibre) Potenciales (calibre de Lorenz)
En cálculo geométrico, la yuxtaposición de vectores como en indicar el producto geométrico y se puede descomponer en partes como . Aquí es la derivada de covector en cualquier espacio-tiempo y se reduce a en el espacio-tiempo plano. Dónde juega un papel en Minkowski -espacio-tiempo que es sinónimo de la función de en euclidiano -espacio y está relacionado con el d'Alembertian por. De hecho, dado un observador representado por un vector de tiempo que apunta hacia el futuro tenemos
Los aumentos en este espacio métrico de Lorentz tienen la misma expresión como rotación en el espacio euclidiano, donde es el bivector generado por las direcciones temporales y espaciales involucradas, mientras que en el caso euclidiano es el bivector generado por las dos direcciones espaciales, fortaleciendo la "analogía" hasta casi la identidad.
Las matrices de Dirac son una representación de, mostrando la equivalencia con las representaciones matriciales utilizadas por los físicos.
Modelo homogéneo
El primer modelo aquí es , la versión GA de coordenadas homogéneas utilizadas en geometría proyectiva. Aquí, un vector representa un punto y un producto externo de vectores de longitud orientada, pero podemos trabajar con el álgebra de la misma manera que en. Sin embargo, un producto interno útil no se puede definir en el espacio y, por lo tanto, no hay un producto geométrico que deje solo el producto externo y los usos no métricos de la dualidad, como reunirse y unirse.
No obstante, se han investigado alternativas de cuatro dimensiones al CGA de cinco dimensiones completo para geometrías limitadas, como los movimientos de cuerpos rígidos. Puede encontrar una selección de estos en la Parte IV de la Guía de álgebra geométrica en la práctica . [19] Tenga en cuenta que el álgebra aparece como una subálgebra de CGA seleccionando solo un vector de base nula y descartando el otro y además que el "álgebra motora" (isomórfica a cuaterniones duales) es la subálgebra par de .
Modelo conforme
Bayro-Corrochano & Scheuermann (2010) proporciona una descripción compacta del estado actual de la técnica , que también incluye más referencias, en particular a Dorst, Fontijne & Mann (2007) . Otras referencias útiles son Li (2008) y Bayro-Corrochano (2010) .
Trabajando dentro de GA, espacio euclidiano (junto con un punto conforme en el infinito) está incrustado proyectivamente en el CGA mediante la identificación de puntos euclidianos con subespacios 1D en el cono nulo 4D del subespacio vectorial CGA 5D. Esto permite que todas las transformaciones conformes se realicen como rotaciones y reflejos y es covariante , extendiendo las relaciones de incidencia de la geometría proyectiva a círculos y esferas.
Específicamente, agregamos vectores de base ortogonal y tal que y a la base del espacio vectorial que genera e identificar vectores nulos
- como un punto conforme en el infinito (ver Compactificación ) y
- como el punto en el origen, dando
- .
Este procedimiento tiene algunas similitudes con el procedimiento para trabajar con coordenadas homogéneas en geometría proyectiva y en este caso permite el modelado de transformaciones euclidianas decomo transformaciones ortogonales de un subconjunto de.
Un área fluida y que cambia rápidamente de GA, CGA también se está investigando para aplicaciones a la física relativista.
Modelos de transformación proyectiva
Actualmente se están investigando dos candidatos potenciales como base para la geometría afín y proyectiva en tres dimensiones. [20] y[21] que incluye representaciones para cizallas y escalado no uniforme, así como superficies cuádricas y secciones cónicas .
Un nuevo modelo de investigación, Álgebra geométrica conformada cuádrica (QCGA) es una extensión de CGA, dedicada a superficies cuádricas. La idea es representar los objetos en subespacios de baja dimensión del álgebra. QCGA es capaz de construir superficies cuádricas utilizando puntos de control o ecuaciones implícitas. Además, QCGA puede calcular la intersección de superficies cuadráticas, así como la superficie tangente y los vectores normales en un punto que se encuentra en la superficie cuadrática. [22]
Interpretación geométrica
Proyección y rechazo
Para cualquier vector y cualquier vector invertible ,
donde la proyección de sobre (o la parte paralela) es
y el rechazo de de (o la parte ortogonal) es
Usando el concepto de -espada como representando un subespacio de y cada multivector en última instancia se expresa en términos de vectores, esto se generaliza a la proyección de un multivector general en cualquier invertible -espada como [i]
con el rechazo definido como
La proyección y el rechazo se generalizan a palas nulas reemplazando el inverso con el pseudoinverso con respecto al producto contractivo. [j] El resultado de la proyección coincide en ambos casos para palas no nulas. [23] [24] Para hojas nulas, debe usarse la definición de la proyección dada aquí con la primera contracción en lugar de la segunda en el pseudoinverso, [k] ya que solo entonces el resultado es necesariamente en el subespacio representado por. [23] La proyección se generaliza a través de la linealidad a multivectores generales.. [l] La proyección no es lineal en y no se generaliza a objetos que no son espadas.
Reflexión
Los reflejos simples en un hiperplano se expresan fácilmente en el álgebra mediante la conjugación con un solo vector. Estos sirven para generar el grupo de rotorreflexiones y rotaciones generales .
El reflejo de un vector a lo largo de un vector , o de forma equivalente en el hiperplano ortogonal a , es lo mismo que negar la componente de un vector paralelo a . El resultado de la reflexión será
Ésta no es la operación más general que puede considerarse como un reflejo cuando la dimensión . Una reflexión general puede expresarse como la combinación de cualquier número impar de reflexiones de un solo eje. Así, una reflexión general de un vector puede estar escrito
dónde
- y
Si definimos la reflexión a lo largo de un vector no nulo del producto de vectores como la reflexión de cada vector en el producto a lo largo del mismo vector, obtenemos para cualquier producto de un número impar de vectores que, a modo de ejemplo,
y para el producto de un número par de vectores que
Usando el concepto de cada multivector finalmente expresado en términos de vectores, el reflejo de un multivector general usando cualquier versor de reflexión puede estar escrito
dónde es el automorfismo de la reflexión a través del origen del espacio vectorial () extendido a través de la linealidad a todo el álgebra.
Rotaciones
Si tenemos un producto de vectores entonces denotamos lo contrario como
Como ejemplo, suponga que obtenemos
Escalada así que eso luego
entonces deja la longitud de sin alterar. También podemos mostrar que
entonces la transformación conserva tanto la longitud como el ángulo. Por tanto, puede identificarse como una rotación o una rotorreflexión;se llama rotor si es una rotación adecuada (como lo es si se puede expresar como un producto de un número par de vectores) y es una instancia de lo que se conoce en GA como versor .
Existe un método general para rotar un vector que implica la formación de un multivector de la forma que produce una rotacion en el plano y con la orientación definida por un-espada .
Los rotores son una generalización de cuaterniones para -espacios dimensionales.
Versor
A -versor es un multivector que se puede expresar como el producto geométrico de vectores invertibles. [m] [26] Los cuaterniones unitarios (originalmente llamados versores por Hamilton) pueden identificarse con rotores en el espacio 3D de la misma manera que los rotores 2D reales subsumen números complejos; para obtener más información, consulte Dorst. [27]
Algunos autores utilizan el término "producto de versor" para referirse al caso frecuente en el que un operando está "intercalado" entre operadores. Las descripciones de rotaciones y reflexiones, incluidos sus morfismos externos, son ejemplos de este tipo de emparejamiento. Estos morfismos externos tienen una forma algebraica particularmente simple. [n] Específicamente, un mapeo de vectores de la forma
- se extiende al morfismo exterior
Dado que tanto los operadores como el operando son versores, existe la posibilidad de ejemplos alternativos, como hacer girar un rotor o reflejar un espín, siempre que se pueda atribuir algún significado geométrico o físico a tales operaciones.
Por el teorema de Cartan-Dieudonné tenemos que cada isometría se puede dar como reflejos en hiperplanos y dado que los reflejos compuestos proporcionan rotaciones, entonces tenemos que las transformaciones ortogonales son versores.
En trminos de grupo, para un real, no degenerado , habiendo identificado el grupo como el grupo de todos los elementos invertibles de , Lundholm da una prueba de que el "grupo versor" (el conjunto de versores invertibles) es igual al grupo de Lipschitz ( también conocido como grupo Clifford, aunque Lundholm desaprueba este uso). [28]
Subgrupos de Γ
Lundholm define el , , y subgrupos, generados por vectores unitarios, y en el caso de y , sólo puede estar presente un número par de tales factores vectoriales. [29]
Subgrupo | Definición | Descripción |
---|---|---|
Versores de la unidad | ||
incluso versadores de unidades | ||
rotores |
Los espinores se definen como elementos de la subálgebra par de un AG real; Francis y Kosowsky dan un análisis del enfoque GA de los espinores. [30]
Ejemplos y aplicaciones
Hipervolumen de un paralelootopo generado por vectores
Para vectores y abarcando un paralelogramo tenemos
con el resultado que es lineal en el producto de la "altitud" y la "base" del paralelogramo, es decir, su área.
Interpretaciones similares son verdaderas para cualquier número de vectores que abarquen un -paralelotopo dimensional ; el producto exterior de los vectores, es decir , tiene una magnitud igual al volumen del -paralelotopo. Un-vector no tiene necesariamente la forma de un paralelootopo; esta es una visualización conveniente. Puede tener cualquier forma, aunque el volumen es igual al del paralelopo.
Intersección de una línea y un plano
Podemos definir la línea paramétricamente por dónde y son vectores de posición para los puntos P y T y es el vector de dirección de la línea.
Luego
- y
entonces
y
Sistemas rotativos
La descripción matemática de las fuerzas de rotación, como el par y el momento angular, a menudo hace uso del producto cruzado del cálculo vectorial en tres dimensiones con una convención de orientación (destreza manual).
El producto cruzado se puede ver en términos del producto exterior, lo que permite una interpretación geométrica más natural del producto cruzado como un bivector utilizando la relación dual.
Por ejemplo, el par se define generalmente como la magnitud de la componente de fuerza perpendicular multiplicada por la distancia, o el trabajo por unidad de ángulo.
Suponga una trayectoria circular en un plano arbitrario que contiene vectores ortonormales y está parametrizado por ángulo.
Al designar la unidad bivector de este plano como el número imaginario
este vector de ruta se puede escribir convenientemente en forma exponencial compleja
y la derivada con respecto al ángulo es
Entonces el torque, la tasa de cambio de trabajo. , debido a una fuerza , es
A diferencia de la descripción de producto cruzado de par, , la descripción del álgebra geométrica no introduce un vector en la dirección normal; un vector que no existe en dos y que no es único en más de tres dimensiones. La unidad bivector describe el plano y la orientación de la rotación, y el sentido de la rotación es relativo al ángulo entre los vectores. y .
Cálculo geométrico
El cálculo geométrico amplía el formalismo para incluir la diferenciación y la integración, incluida la geometría diferencial y las formas diferenciales . [31]
Esencialmente, la derivada del vector se define de modo que la versión GA del teorema de Green sea verdadera,
y luego uno puede escribir
como un producto geométrico, generalizando efectivamente el teorema de Stokes (incluida la versión en forma diferencial del mismo).
En Cuándo es una curva con puntos finales y , luego
reduce a
o el teorema fundamental del cálculo integral.
También se desarrollan el concepto de variedad vectorial y la teoría de la integración geométrica (que generaliza formas diferenciales).
Historia
- Antes del siglo XX
Aunque la conexión de la geometría con el álgebra se remonta al menos a los Elementos de Euclides en el siglo III a. C. (ver álgebra geométrica griega ), GA en el sentido usado en este artículo no se desarrolló hasta 1844, cuando se usó en un forma sistemática de describir las propiedades geométricas y las transformaciones de un espacio. En ese año, Hermann Grassmann introdujo la idea de un álgebra geométrica en total generalidad como cierto cálculo (análogo al cálculo proposicional ) que codificaba toda la información geométrica de un espacio. [32] El sistema algebraico de Grassmann podría aplicarse a varios tipos diferentes de espacios, siendo el principal de ellos el espacio euclidiano , el espacio afín y el espacio proyectivo . Siguiendo a Grassmann, en 1878 William Kingdon Clifford examinó el sistema algebraico de Grassmann junto con los cuaterniones de William Rowan Hamilton en ( Clifford 1878 )dimensiones. Más tarde, estos desarrollos llevarían a otros matemáticos del siglo XX a formalizar y explorar las propiedades del álgebra de Clifford.
. Desde su punto de vista, los cuaterniones describieron ciertas transformaciones (a las que llamó rotores ), mientras que el álgebra de Grassmann describió ciertas propiedades (o Strecken como longitud, área y volumen). Su contribución fue definir un nuevo producto, el producto geométrico , en un álgebra de Grassmann existente, que se dio cuenta de que los cuaterniones vivían dentro de ese álgebra. Posteriormente, Rudolf Lipschitz en 1886 generalizó la interpretación de Clifford de los cuaterniones y los aplicó a la geometría de rotaciones enSin embargo, otro desarrollo revolucionario del siglo XIX eclipsaría por completo las álgebras geométricas: el del análisis vectorial , desarrollado independientemente por Josiah Willard Gibbs y Oliver Heaviside . El análisis de vectores fue motivado por los estudios de James Clerk Maxwell sobre electromagnetismo , y específicamente la necesidad de expresar y manipular convenientemente ciertas ecuaciones diferenciales . El análisis vectorial tenía un cierto atractivo intuitivo en comparación con los rigores de las nuevas álgebras. Tanto los físicos como los matemáticos lo adoptaron fácilmente como su conjunto de herramientas geométricas de elección, particularmente siguiendo el influyente libro de texto de 1901 Análisis vectorial de Edwin Bidwell Wilson , después de las conferencias de Gibbs.
Más detalladamente, ha habido tres enfoques del álgebra geométrica: análisis cuaterniónico , iniciado por Hamilton en 1843 y geometrizado como rotores por Clifford en 1878; álgebra geométrica, iniciada por Grassmann en 1844; y análisis de vectores, desarrollado a partir del análisis cuaterniónico a finales del siglo XIX por Gibbs y Heaviside. El legado del análisis cuaterniónico en el análisis de vectores se puede ver en el uso de, , para indicar los vectores base de : se piensa en él como los cuaterniones puramente imaginarios. Desde la perspectiva del álgebra geométrica, la subálgebra par del Álgebra del espacio-tiempo es isomórfica a la AG del espacio euclidiano 3D y los cuaterniones son isomórficos a la subálgebra par de la AG del espacio euclidiano 3D, que unifica los tres enfoques.
- Siglo XX y presente
El progreso en el estudio de las álgebras de Clifford avanzó silenciosamente durante el siglo XX, aunque en gran parte debido al trabajo de algebristas abstractos como Hermann Weyl y Claude Chevalley . El geométrica enfoque de álgebra geométrica ha visto una serie de avivamientos del siglo 20. En matemáticas, Emil Artin 's Geometric Algebra [33] discute el álgebra asociado con cada uno de un número de geometrías, incluyendo la geometría afín , la geometría proyectiva , geometría simpléctica , y geometría ortogonal . En física, las álgebras geométricas han sido revividas como una "nueva" forma de hacer mecánica clásica y electromagnetismo, junto con temas más avanzados como la mecánica cuántica y la teoría de gauge. [3] David Hestenes reinterpretó las matrices de Pauli y Dirac como vectores en el espacio ordinario y el espaciotiempo, respectivamente, y ha sido uno de los principales defensores contemporáneos del uso del álgebra geométrica.
En gráficos por computadora y robótica, las álgebras geométricas se han revivido para representar de manera eficiente rotaciones y otras transformaciones. Para aplicaciones de GA en robótica ( teoría de tornillos , cinemática y dinámica usando versores), visión por computadora, control y computación neuronal (aprendizaje geométrico) ver Bayro (2010).
Conferencias y Revistas
Las principales conferencias en esta materia incluyen la Conferencia Internacional sobre Álgebras de Clifford y sus Aplicaciones en Física Matemática (ICCA) y las series Aplicaciones del Álgebra Geométrica en Ciencias de la Computación e Ingeniería (AGACSE) . Un medio de publicación principal es la revista Springer Advances in Applied Clifford Algebras .
Software
GA es un tema muy orientado a la aplicación. Existe una curva de aprendizaje inicial razonablemente empinada asociada con él, pero esto puede aliviarse un poco mediante el uso de software aplicable. La siguiente es una lista de software disponible gratuitamente que no requiere la propiedad de software comercial o la compra de ningún producto comercial para este propósito:
Proyectos de código abierto desarrollados activamente
- clifford - Módulo de álgebra geométrica numérica para Python.
- galgebra - Módulo de álgebra geométrica simbólica para Python de Alan Bromborsky (usa sympy).
- GATL : una biblioteca de plantilla de C ++ que utiliza la estrategia de evaluación perezosa para ejecutar automáticamente manipulaciones algebraicas de bajo nivel en tiempo de compilación para producir programas más eficientes.
- ganja.js - Álgebra geométrica para Javascript (con sobrecarga de operadores y literales algebraicos).
- klein : biblioteca de C ++ optimizada para SSE orientada a la producción , especializada en álgebra geométrica proyectiva 3D dual.
- Versor , una biblioteca ligera de C ++ con plantilla con una interfaz OpenGL para una programación eficiente de álgebra geométrica en métricas arbitrarias, incluida la conformal .
- Grassmann.jl - Álgebra de productos geométricos conformales basada en multivectores duales estáticos con indexación de hojas graduadas (escrito en lenguaje Julia).
- Biblioteca de matemáticas Terathon: biblioteca de C ++ con calidad de producción de Eric Lengyel que incluye el álgebra geométrica proyectiva 3D directa.
Otros proyectos
- Visor de GA Fontijne, Dorst, Bouma & Mann
- GAwxM GitHub - GA usando wxMaxima, software de código abierto que usa un sistema de álgebra computarizado gratuito, incluye archivos Léame para motivación y configuración.
- clifford GitHub - Álgebra de Clifford y cálculo geométrico en Maxima basado en la representación indicial.
- CLUViz Perwass
Software que permite la creación de scripts e incluye visualizaciones de muestra, introducción manual e GA.
- Gaigen Fontijne
Para los programadores, este es un generador de código con soporte para C, C ++, C # y Java.
- Visualizaciones de Cenicienta Hitzer y Dorst .
- Gaalop [1] Aplicación GUI independiente que utiliza el software de álgebra computacional de código abierto Maxima para descomponer el código CLUViz en código C / C ++ o Java.
- Precompilador de Gaalop [2] Precompilador basado en Gaalop integrado con CMake .
- Gaalet, biblioteca de plantillas de expresión C ++ Seybold .
- Álgebra de Clifford con Mathematica clifford.m
- Álgebra de Clifford con clases integradas GiNaC
Proyecto de referencia
- ga-benchmark - Un punto de referencia para bibliotecas de álgebra geométrica C / C ++ y generadores de bibliotecas. Los últimos resultados del ga-benchmark se pueden encontrar aquí .
Ver también
- Comparación de álgebra vectorial y álgebra geométrica
- Álgebra de Clifford
- Álgebra de Grassmann-Cayley
- Álgebra del espacio-tiempo
- Spinor
- Cuaternio
- Álgebra del espacio físico
- Álgebra geométrica universal
Notas
- ^ El término producto externo usado en álgebra geométrica entra en conflicto con el significado de producto externo en otras partes de las matemáticas
- ^ Dado, tenemos eso , mostrando que es idempotente, y que , mostrando que es un divisor de cero distinto de cero.
- ^ Este es un sinónimo del producto escalar de un espacio vectorial pseudo-euclidiano , y se refiere a la forma bilineal simétrica en el-subespacio vectorial, no el producto interno en un espacio vectorial normalizado. Algunos autores pueden extender el significado de producto interno a todo el álgebra, pero hay poco consenso al respecto. Incluso en textos sobre álgebras geométricas, el término no se usa universalmente.
- ^ Cuando se refiere a la clasificación bajo el producto geométrico, la literatura generalmente solo se enfoca en un-calificación, es decir, la división en pares e impares -Los grados. es un subgrupo del completo -calificación del producto geométrico.
- ^ Grado es sinónimo de grado de un elemento homogéneo bajo la clasificación como un álgebra con el producto exterior (un-calificación), y no por debajo del producto geométrico. [D]
- ^ [...] la operación del producto exterior y la relación de unión tienen esencialmente el mismo significado. El álgebra de Grassmann-Cayley considera la relación de encuentro como su contraparte y proporciona un marco unificador en el que estas dos operaciones tienen el mismo nivel [...] El propio Grassmann definió la operación de encuentro como el dual de la operación del producto externo, pero matemáticos posteriores definieron la conoce al operador independientemente del producto exterior a través de un proceso llamado mezcla , y la operación de reunión se denomina producto aleatorio. Se muestra que esta es una operación antisimétrica que satisface la asociatividad, definiendo un álgebra por derecho propio. Por lo tanto, el álgebra de Grassmann-Cayley tiene dos estructuras algebraicas simultáneamente: una basada en el producto externo (o unión), la otra basada en el producto aleatorio (o reunión). Por lo tanto, el nombre "álgebra doble", y se muestra que los dos son duales entre sí. [13]
- ^ Esto no debe confundirse con la generalización irregular de Hestenes, donde la notación distintiva es de Dorst, Fontijne & Mann (2007) , §B.1 p. 590, que indica que los componentes escalares deben manipularse por separado con este producto.
- ^ La condición quegeneralmente se agrega para garantizar que el mapa cero sea único.
- ^ Esta definición sigue a Dorst (2007) no puede exceder el de . y Perwass (2009) : la contracción izquierda utilizada por Dorst reemplaza el producto interno ("punto gordo") que usa Perwass, de acuerdo con la restricción de Perwass de que el grado de
- ↑ Dorst parece simplemente asumir tal que , mientras que Perwass (2009) define, dónde es el conjugado de , equivalente al reverso de hasta una señal.
- ^ Es decir, la proyección debe definirse como y no como , aunque los dos son equivalentes para blades no nulos .
- ^ Esta generalización a todos aparentemente no es considerado por Perwass o Dorst.
- ^ "reviviendo y generalizando algo un término del cálculo de cuaterniones de hamilton que ha caído en desuso" Hestenes definió un-versor como un multivector que se puede factorizar en un producto de vectores. [25]
- ^ Sólo los morfismos externos de las transformaciones lineales que respetan la forma cuadrática se ajustan a esta descripción; los morfismos externos no se pueden expresar en general en términos de operaciones algebraicas.
Citas
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Referencias y lecturas adicionales
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enlaces externos
- Una encuesta sobre álgebra geométrica y cálculo geométrico Alan Macdonald , Luther College, Iowa.
- Los números imaginarios no son reales: el álgebra geométrica del espacio-tiempo . Introducción (grupo Cambridge GA).
- Álgebra Geométrica 2015, Máster en Computación Científica , del Dr. Chris Doran (Cambridge).
- Matemáticas para programadores (de juegos): 5 - Métodos multivectoriales . Introducción y referencia completas para programadores, de Ian Bell .
- IMPA Summer School 2010 Fernandes Oliveira Introducción y diapositivas.
- Publicaciones de la Universidad de Fukui ESM Hitzer y Japan GA.
- Grupo de Google para GA
- Introducción al álgebra geométrica Introducción a GA, Jaap Suter.
- Wiki curado de Geometric Algebra Resources , Pablo Bleyer.
- Álgebras geométricas aplicadas en ciencias de la computación e ingeniería 2018 Procedimientos iniciales
- Mini evento de álgebra geométrica GAME2020
Traducciones al inglés de libros y artículos antiguos.
- G. Combebiac, "cálculo de tri-cuaterniones" (tesis doctoral)
- M. Markic, "Transformantes: un nuevo vehículo matemático. Una síntesis de los tri-cuaterniones de Combebiac y el sistema geométrico de Grassmann. El cálculo de los cuadri-cuaterniones"
- C. Burali-Forti, "El método Grassmann en geometría proyectiva" Una compilación de tres notas sobre la aplicación del álgebra exterior a la geometría proyectiva
- C. Burali-Forti, "Introducción a la geometría diferencial, siguiendo el método de H. Grassmann" Primer libro sobre la aplicación del álgebra de Grassmann
- H. Grassmann, "Mecánica, según los principios de la teoría de la extensión" Uno de sus trabajos sobre las aplicaciones del álgebra exterior.
Grupos de investigación
- Cálculo geométrico internacional . Enlaces a grupos de investigación, software y conferencias en todo el mundo.
- Grupo Cambridge Geometric Algebra . Publicaciones en línea de texto completo y otro material.
- Grupo de la Universidad de Amsterdam
- Investigación y desarrollo de cálculo geométrico (Universidad Estatal de Arizona).
- Archivo de boletines y blogs de GA-Net . Noticias de desarrollo de álgebra geométrica / álgebra de Clifford.
- Álgebra geométrica para sistemas de percepción y acción. Grupo de Cibernética Geométrica (CINVESTAV, Campus Guadalajara, México).