Conjetura de Bogomolov

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En matemáticas , la conjetura de Bogomolov es una conjetura, llamada así por Fedor Bogomolov , en geometría aritmética sobre curvas algebraicas que generaliza la conjetura de Manin-Mumford en geometría aritmética . La conjetura fue probada por Emmanuel Ullmo y Shou-Wu Zhang en 1998. Zhang también demostró una generalización adicional a las variedades abelianas generales en 1998.

Deje C ser una curva algebraica de género g al menos dos definida sobre un campo de número de K , deja que denotan la clausura algebraica de K , fijar una incrustación de C en su variedad jacobiana J , y dejar que denotan la altura Néron-Tate en J asociado a un amplio divisor simétrico . Entonces existe un tal que el conjunto${\displaystyle {\overline {K}}}$ ${\displaystyle {\hat {h}}}$${\displaystyle \epsilon >0}$

Dado que si y solo si P es un punto de torsión , la conjetura de Bogomolov generaliza la conjetura de Manin-Mumford .${\displaystyle {\hat {h}}(P)=0}$

Sea A una variedad abeliana definida sobre K , y sea ​​la altura de Néron-Tate sobre A asociada a un divisor simétrico amplio. Una subvariedad se llama subvariedad de torsión si es la traducción de una subvariedad abeliana de A por un punto de torsión. Si X no es una subvariedad de torsión, entonces existe tal que el conjunto${\displaystyle {\hat {h}}}$ ${\displaystyle X\subset A}$${\displaystyle \epsilon >0}$

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