Ecuación de Boltzmann
La ecuación de Boltzmann o ecuación de transporte de Boltzmann ( BTE ) describe el comportamiento estadístico de un sistema termodinámico que no se encuentra en un estado de equilibrio , ideado por Ludwig Boltzmann en 1872. [2] El ejemplo clásico de tal sistema es un fluido con gradientes de temperatura en el espacio. hacer que el calor fluya de las regiones más calientes a las más frías, mediante el transporte aleatorio pero sesgado de las partículascomponiendo ese fluido. En la literatura moderna, el término ecuación de Boltzmann se usa a menudo en un sentido más general, refiriéndose a cualquier ecuación cinética que describa el cambio de una cantidad macroscópica en un sistema termodinámico, como energía, carga o número de partículas.
La ecuación surge no analizando las posiciones y momentos individuales de cada partícula en el fluido, sino más bien considerando una distribución de probabilidad para la posición y el momento de una partícula típica, es decir, la probabilidad de que la partícula ocupe una región del espacio muy pequeña dada. (matemáticamente el elemento de volumen ) centrado en la posición , y tiene un momento casi igual a un vector de momento dado (ocupando así una región muy pequeña del espacio de momento ), en un instante de tiempo.
La ecuación de Boltzmann se puede utilizar para determinar cómo cambian las cantidades físicas, como la energía térmica y el momento , cuando un fluido está en transporte. También se pueden derivar otras propiedades características de los fluidos tales como viscosidad , conductividad térmica y conductividad eléctrica (tratando los portadores de carga en un material como un gas). [2] Véase también la ecuación de convección-difusión .
La ecuación es una ecuación integro-diferencial no lineal , y la función desconocida en la ecuación es una función de densidad de probabilidad en el espacio de seis dimensiones de la posición y el momento de una partícula. El problema de la existencia y unicidad de las soluciones aún no está completamente resuelto, pero algunos resultados recientes son bastante prometedores. [3] [4]
El conjunto de todas las posibles posiciones ry momentos p se denomina espacio de fase del sistema; en otras palabras, un conjunto de tres coordenadas para cada coordenada de posición x, y, z , y tres más para cada componente de momento p x , p y , p z . Todo el espacio es de 6 dimensiones : un punto en este espacio es ( r , p ) = ( x, y, z, p x , p y , p z ), y cada coordenada está parametrizada por el tiempo t . El pequeño volumen ("diferencialelemento de volumen ") está escrito
Dado que la probabilidad de N moléculas, que todos tienen r y p dentro , está en cuestión, en el corazón de la ecuación es una cantidad f que da a esta probabilidad por volumen de espacio de fase de la unidad, o la probabilidad por unidad de longitud al cubo por cubos unidad de impulso , en un instante de tiempo t . Esta es una función de densidad de probabilidad : f ( r , p , t ), definida de modo que,
