En geometría , un grupo de Lie complejo es un grupo de Lie sobre los números complejos; es decir, es una variedad analítica compleja que también es un grupo de tal maneraes holomórfico . Los ejemplos básicos son, los grupos lineales generales sobre los números complejos . Un grupo de Lie complejo compacto conectado es precisamente un toro complejo (que no debe confundirse con el grupo de Lie complejo). A cualquier grupo finito se le puede dar la estructura de un grupo de Lie complejo. Un grupo de Lie semisimple complejo es un grupo algebraico lineal .
El álgebra de Lie de un grupo de Lie complejo es un álgebra de Lie compleja .
Ejemplos de
- Un espacio vectorial de dimensión finita sobre los números complejos (en particular, el álgebra de Lie compleja) es un grupo de Lie complejo de una manera obvia.
- Un grupo de Lie complejo compacto conectado A de dimensión g tiene la formadonde L es un subgrupo discreto. De hecho, su álgebra de Lie se puede demostrar que es abeliano y luego es un morfismo sobreyectivo de grupos de Lie complejos, mostrando A es de la forma descrita.
- es un ejemplo de un morfismo de grupos de Lie complejos que no proviene de un morfismo de grupos algebraicos. Desde, este es también un ejemplo de una representación de un grupo de Lie complejo que no es algebraico.
- Sea X una variedad compleja compacta. Entonces, como en el caso real, es un grupo de Lie complejo cuyo álgebra de Lie es .
- Sea K un grupo de Lie compacto conectado . Entonces existe un grupo de Lie complejo único conectado G tal que (i)Y (ii) K es un subgrupo compacto maximal de G . Se llama la complejización de K . Por ejemplo,es la complejificación del grupo unitario . Si K está actuando en un compacto Kähler colector de X , entonces la acción de K se extiende a la de G . [1]
Grupo algebraico lineal asociado a un grupo de Lie semisimple complejo
Sea G un grupo de Lie semisimple complejo. Entonces G admite una estructura natural de un grupo algebraico lineal como sigue: [2] seaser el anillo de funciones holomorfas f en G tal queabarca un espacio vectorial de dimensión finita dentro del anillo de funciones holomórficas en G (aquí G actúa por traslación a la izquierda:). Luegoes el grupo algebraico lineal que, visto como una variedad compleja, es el G original . Más concretamente, elija una representación fielde G . Luego está Zariski-cerrado en . [ aclaración necesaria ]
Referencias
- ^ Guillemin, Victor; Sternberg, Shlomo (1982). "Cuantización geométrica y multiplicidades de representaciones de grupos". Inventiones Mathematicae . 67 (3): 515–538. doi : 10.1007 / bf01398934 .
- ^ Serre y Ch. VIII. Teorema 10.
- Lee, Dong Hoon (2002), La estructura de los grupos de mentiras complejos (PDF) , Boca Raton, Florida: Chapman & Hall / CRC, ISBN 1-58488-261-1, MR 1887930[ enlace muerto permanente ]
- Serre, Jean-Pierre (1993), Gèbres[ enlace muerto permanente ]