Método del nudo límite

En matemáticas numéricas, el método del nudo de límite (BKM) se propone como un esquema alternativo de colocación de funciones de distancia sin malla de tipo límite.

Las últimas décadas han sido testigos de un auge de la investigación sobre las técnicas de PDE numérico sin malla, ya que la construcción de una malla en el método estándar de elementos finitos y el método de elementos de contorno no es trivial, especialmente para problemas de límites móviles y de dimensiones superiores. El método del nudo límite es diferente de los otros métodos basados en las soluciones fundamentales , como el método del elemento límite , el método de las soluciones fundamentales y el método del límite singular.en que el primero no requiere técnicas especiales para curar la singularidad. El BKM es verdaderamente libre de mallas, espectral convergente (observaciones numéricas), simétrico (PDE autoadjunto), libre de integración y fácil de aprender e implementar. El método ha sido probado con éxito con las ecuaciones de Helmholtz, difusión, convección-difusión y Possion con dominios 2D y 3D muy irregulares.

Descripción

El BKM es básicamente una combinación de la función de distancia, la solución general no singular y el método de reciprocidad dual (DRM). La función de distancia se emplea en el BKM para aproximar los términos no homogéneos a través del DRM, mientras que la solución general no singular de la ecuación diferencial parcial conduce a una formulación de solo límite para la solución homogénea. Sin la solución fundamental singular, el BKM elimina la controvertida frontera artificial en el método de las soluciones fundamentales. Algunos experimentos numéricos preliminares muestran que el BKM puede producir excelentes resultados con un número relativamente pequeño de nodos para varios problemas lineales y no lineales.

Formulación

Considere los siguientes problemas,

(1)

{\ Displaystyle Lu = f \ left (x, y \ right), \ \ \ left (x, y \ right) \ in \ Omega}

(2)

{\ Displaystyle u = g \ izquierda (x, y \ derecha), \ \ \ izquierda (x, y \ derecha) \ en \ parcial \ Omega _ {D}}

(3)

{\frac {\partial u}{\partial n}}=h\left(x,y\right),\ \ h\left(x,y\right)\in \partial \Omega _{N}

donde es el operador diferencial, representa el dominio computacional y denota los límites de Dirichlet y Neumann respectivamente, satisfecho y . El BKM emplea la solución general no singular del operador para aproximar la solución numérica de la siguiente manera, $L$ $\Omega$ $\partial \Omega _{D}$ $\partial \Omega _{N}$ $\partial \Omega _{D}\cup \partial \Omega _{N}=\partial \Omega$ $\partial \Omega _{D}\cap \partial \Omega _{N}=\varnothing$ $L$

(4)

u^{*}\left(x,y\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}\phi \left(r_{i}\right)

donde denota la distancia euclidiana, ¿ se satisface la solución general $r_{i}=\left\|\left(x,y\right)-\left(x_{i},y_{i}\right)\right\|_{2}$ $\phi \left(\cdot \right)$

(5)

L\phi =0

Empleando la técnica de colocación para satisfacer las condiciones de contorno (2) y (3),

(6)

{\begin{aligned}&g\left(x_{k},y_{k}\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}\phi \left(r_{i}\right),\qquad k=1,\ldots ,m_{1}\\&h\left(x_{k},y_{k}\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}{\frac {\partial \phi \left(r_{i}\right)}{\partial n}},\qquad k=m_{1}+1,\ldots ,m\\\end{aligned}}

donde y denota los puntos de colocación ubicados en el límite de Dirichlet y el límite de Neumann, respectivamente. Los coeficientes desconocidos se pueden determinar de forma única mediante la ecuación anterior. (6). Y luego la solución BKM en cualquier ubicación del dominio computacional puede ser evaluada por la formulación (4). $\left(x_{k},y_{k}\right)|_{k=1}^{m_{1}}$ $\left(x_{k},y_{k}\right)|_{k=m_{1}+1}^{m}$ $\alpha _{i}$

Historia y desarrollos recientes

Durante mucho tiempo se ha observado que el método de elementos de contorno (BEM) es un método alternativo al método de elementos finitos (FEM) y al método de volumen finito (FVM) para dominios infinitos, estructuras de paredes delgadas y problemas inversos , gracias a su reducibilidad dimensional. Sin embargo, los principales cuellos de botella de BEM son computacionalmente costosos para evaluar la integración de una solución fundamental singular y generar una malla de superficie o una nueva malla. El método de soluciones fundamentales (MFS) ^[1] ha surgido en la última década para paliar estos inconvenientes y recibir cada vez más atención. El MFS es libre de integración, convergencia espectral y sin malla.

Como su nombre lo indica, la solución fundamental de las ecuaciones gobernantes se utiliza como función base en el MFS. Para evitar la singularidad de la solución fundamental, se requiere el límite artificial fuera del dominio físico y ha sido un cuello de botella importante para el uso generalizado del MFS, ya que dicho límite ficticio puede causar inestabilidad computacional. El BKM se clasifica como un tipo de métodos sin malla de tipo límite sin utilizar malla ni límite artificial.

Desde entonces, el BKM ha sido ampliamente probado. En, ^[2] el BKM se utiliza para resolver la ecuación de Laplace, la ecuación de Helmholtz y las ecuaciones de Helmholtz de parámetros variables; en ^[3] por analogía con la interpolación RBF de Hermite de Fasshauer, se propone un esquema BKM simétrico en presencia de condiciones de contorno mixtas; en, ^[4] se realizan investigaciones numéricas sobre la convergencia de BKM en el análisis de Helmholtz homogéneo, Helmholtz modificado y problemas de convección-difusión; en ^[5] el BKM se emplea para tratar la complicada geometría de Helmholtz de dos y tres dimensiones y problemas de convección-difusión; en ^[6] la vibración de la membrana en condiciones de contorno de tipo mixto se investiga mediante el método de nudo de contorno simétrico; en^[7] el BKM se aplica a algunos problemas de Helmholtz inversos; en^[8] el BKM resuelve ecuaciones de Poisson; en^[9] el BKM calcula las ecuaciones de Helmholtz no homogéneas inversas de Cauchy; en^[10] el BKM simula los problemas anisotrópicos a través de la distancia geodésica; en^[11]^[12] se investigan las relaciones entre el número de condición, el número de condición efectiva y las regularizaciones; en^[13] la conducción de calor en material graduado funcionalmente no lineal es examinado por el BKM; en^[14] el BKM también se usa para resolver la ecuación de Eikonal no lineal.

Ver también

Referencias

^ R. Mathon y RL Johnston, La solución aproximada de problemas de valores de frontera elípticos por soluciones fundamentales, SIAM Journal on Numerical Analysis , 638–650, 1977.
^ W. Chen y M. Tanaka, Una técnica de RBF sin malla, convergencia exponencial, sin integración y solo de límites, Computadoras y matemáticas con aplicaciones , 43, 379–391, 2002.
^ W. Chen, Método de nudo de límite simétrico, Análisis de ingeniería con elementos de contorno, 26 (6), 489–494, 2002.
^ W. Chen y YC Hon, Convergencia numérica del método del nudo límite en el análisis de Helmholtz, Helmholtz modificado y problemas de convección-difusión, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering , 192, 1859-1875, 2003.
^ YC Hon y W. Chen, Método de nudo límite para Helmholtz en 2D y 3D y problemas de convección-difusión con geometría complicada, Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería , 1931-1948, 56 (13), 2003.
^ XP Chen, WX He y BT Jin, Método de nudo de límite simétrico para vibraciones de membrana en condiciones de límite de tipo mixto, International Journal of Nonlinear Science and Numerical Simulation , 6, 421–424, 2005.
^ BT Jing y Z. Yao, Método de nudo de límite para algunos problemas inversos asociados con la ecuación de Helmholtz, Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería , 62, 1636-1651, 2005.
^ W. Chen, LJ Shen, ZJ Shen, GW Yuan, Método de nudo de límite para ecuaciones de Poisson, Análisis de ingeniería con elementos de contorno, 29 (8), 756–760, 2005.
^ BT Jin, Y. Zheng, Método de nudo de límite para el problema de Cauchy asociado con la ecuación de Helmholtz no homogénea, Análisis de ingeniería con elementos de contorno, 29, 925–935, 2005.
^ BT Jin y W. Chen, Método de nudo límite basado en la distancia geodésica para problemas anisotrópicos, Journal of Computational Physics , 215 (2), 614–629, 2006.
^ FZ Wang, W. Chen, XR Jiang, Investigación de técnicas regularizadas para el método del nudo límite. Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería biomédica , 26 (12), 1868–1877, 2010
^ FZ Wang, Leevan L, W. Chen, Número de condición efectiva para el método del nudo límite. CMC: Computers, Materials, & Continua , 12 (1), 57–70, 2009
^ ZJ Fu; W. Chen, QH Qin, Método de nudo de límite para la conducción de calor en material clasificado funcionalmente no lineal, Análisis de ingeniería con elementos de contorno, 35 (5), 729–734, 2011.
^ D. Mehdi y S. Rezvan, Un método sin malla de solo límites para la solución numérica de la ecuación de Eikonal, Mecánica computacional , 47, 283-294, 2011.

Sitio web relacionado

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[1] R. Mathon y RL Johnston, La solución aproximada de problemas de valores de frontera elípticos por soluciones fundamentales, SIAM Journal on Numerical Analysis , 638–650, 1977.

[2] W. Chen y M. Tanaka, Una técnica de RBF sin malla, convergencia exponencial, sin integración y solo de límites, Computadoras y matemáticas con aplicaciones , 43, 379–391, 2002.

[3] W. Chen, Método de nudo de límite simétrico, Análisis de ingeniería con elementos de contorno, 26 (6), 489–494, 2002.

[4] W. Chen y YC Hon, Convergencia numérica del método del nudo límite en el análisis de Helmholtz, Helmholtz modificado y problemas de convección-difusión, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering , 192, 1859-1875, 2003.

[5] YC Hon y W. Chen, Método de nudo límite para Helmholtz en 2D y 3D y problemas de convección-difusión con geometría complicada, Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería , 1931-1948, 56 (13), 2003.

[6] XP Chen, WX He y BT Jin, Método de nudo de límite simétrico para vibraciones de membrana en condiciones de límite de tipo mixto, International Journal of Nonlinear Science and Numerical Simulation , 6, 421–424, 2005.

[7] BT Jing y Z. Yao, Método de nudo de límite para algunos problemas inversos asociados con la ecuación de Helmholtz, Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería , 62, 1636-1651, 2005.

[8] W. Chen, LJ Shen, ZJ Shen, GW Yuan, Método de nudo de límite para ecuaciones de Poisson, Análisis de ingeniería con elementos de contorno, 29 (8), 756–760, 2005.

[9] BT Jin, Y. Zheng, Método de nudo de límite para el problema de Cauchy asociado con la ecuación de Helmholtz no homogénea, Análisis de ingeniería con elementos de contorno, 29, 925–935, 2005.

[10] BT Jin y W. Chen, Método de nudo límite basado en la distancia geodésica para problemas anisotrópicos, Journal of Computational Physics , 215 (2), 614–629, 2006.

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[12] FZ Wang, Leevan L, W. Chen, Número de condición efectiva para el método del nudo límite. CMC: Computers, Materials, & Continua , 12 (1), 57–70, 2009

[13] ZJ Fu; W. Chen, QH Qin, Método de nudo de límite para la conducción de calor en material clasificado funcionalmente no lineal, Análisis de ingeniería con elementos de contorno, 35 (5), 729–734, 2011.

[14] D. Mehdi y S. Rezvan, Un método sin malla de solo límites para la solución numérica de la ecuación de Eikonal, Mecánica computacional , 47, 283-294, 2011.

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