En cálculo científico y simulación , el método de soluciones fundamentales ( MFS ) es una técnica para resolver ecuaciones diferenciales parciales basada en el uso de la solución fundamental como función base. El MFS se desarrolló para superar los principales inconvenientes del método del elemento de contorno (BEM), que también utiliza la solución fundamental para satisfacer la ecuación que rige. En consecuencia, tanto el MFS como el BEM son de una técnica numérica de discretización de límites y reducen la complejidad computacional en una dimensionalidad y tienen una ventaja particular sobre las técnicas numéricas de tipo dominio, como el elemento finito.y métodos de volumen finito sobre la solución de dominios infinitos, estructuras de paredes delgadas y problemas inversos .
A diferencia del BEM, el MFS evita la integración numérica de una solución fundamental singular y es un método inherente sin malla . Sin embargo, el método se ve comprometido al requerir un límite ficticio controvertido fuera del dominio físico para eludir la singularidad de la solución fundamental, que ha restringido seriamente su aplicabilidad a problemas del mundo real. Sin embargo, se ha encontrado que el MFS es muy competitivo para algunas áreas de aplicación, como problemas de dominio infinito.
El MFS también se conoce por diferentes nombres en la literatura, incluido el método de simulación de carga, el método de superposición, el método desingularizado, el método de elemento de límite indirecto y el método de elemento de límite virtual.
Formulación MFS
Considere una ecuación diferencial parcial que gobierna cierto tipo de problemas.
dónde es el operador parcial diferencial, representa el dominio computacional, y denotan el límite de Dirichlet y Neumann, respectivamente, y .
El MFS emplea la solución fundamental del operador como su función base para representar la aproximación de la función desconocida u de la siguiente manera
dónde denota la distancia euclidiana entre los puntos de colocación y puntos de origen , es la solución fundamental que satisface
dónde denota la función delta de Dirac, y son los coeficientes desconocidos.
Con los puntos de origen ubicados fuera del dominio físico, el MFS evita la singularidad fundamental de la solución. Sustituyendo la aproximación en la condición de contorno se obtiene la siguiente ecuación matricial
dónde y denotan los puntos de colocación, respectivamente, en los límites de Dirichlet y Neumann. Los coeficientes desconocidosse puede determinar de forma única mediante la ecuación algebraica anterior. Y luego podemos evaluar la solución numérica en cualquier lugar del dominio físico.
Historia y desarrollos recientes
Las ideas detrás del MFS fueron desarrolladas principalmente por VD Kupradze y MA Alexidze a fines de la década de 1950 y principios de la de 1960. [1] Sin embargo, el método fue propuesto por primera vez como una técnica computacional mucho más tarde por R. Mathon y RL Johnston a fines de la década de 1970, [2] seguido de varios artículos de Mathon, Johnston y Graeme Fairweather con aplicaciones. El MFS se convirtió gradualmente en una herramienta útil para la solución de una gran variedad de problemas físicos y de ingeniería. [3] [4] [5] [6]
En la década de 1990, MA Golberg y CS Chen ampliaron el MFS para tratar con ecuaciones no homogéneas y problemas dependientes del tiempo, ampliando enormemente su aplicabilidad. [7] [8] Desarrollos posteriores indicaron que el MFS se puede utilizar para resolver ecuaciones diferenciales parciales con coeficientes variables. [9] El MFS ha demostrado ser particularmente eficaz para ciertas clases de problemas, como problemas inversos, [10] de dominio ilimitado y de límites libres. [11]
Algunos se han desarrollado técnicas para curar el problema de límites ficticios en el MFS, tales como el método de límite de nudo , método singular límite y método sin malla regularizada .
Ver también
Referencias
- ^ K. VD, A. MA, El método de ecuaciones funcionales para la solución aproximada de ciertos problemas de valores límite, URSS Comput Math Math Phys . 4 (1964) 82-126.
- ^ R. Mathon, RL Johnston, La solución aproximada de problemas de valores de frontera elípticos por soluciones fundamentales, SIAM Journal on Numerical Analysis . (1977) 638–650.
- ^ Z. Fu, W. Chen, W. Yang, Problemas de flexión de placas de Winkler mediante un método de partículas limítrofes únicamente en los límites [ enlace muerto permanente ] , Mecánica computacional . 44 (2009) 757–763.
- ^ W. Chen, J. Lin, F. Wang, Método sin malla regularizado para problemas no homogéneos Archivado el 6 de junio de 2015 en la Wayback Machine , Análisis de ingeniería con elementos de contorno. 35 (2011) 253–257.
- ^ W. Chen, FZ Wang, Un método de soluciones fundamentales sin límite ficticio Archivado el 6 de junio de 2015 en la Wayback Machine , Análisis de ingeniería con elementos de límite . 34 (2010) 530–532.
- ^ JIANG Xin-rong, CHEN Wen, Método de solución fundamental y método de nudo límite para ecuaciones de Helmholtz: un estudio comparativo, Chinese Journal of Computational Mechanics , 28: 3 (2011) 338-344 (en chino)
- ^ MA Golberg, CS Chen, La teoría de las funciones de base radial aplicada al BEM para ecuaciones diferenciales parciales no homogéneas, Comunicaciones de elementos de frontera . 5 (1994) 57–61.
- ^ M. a. Golberg, CS Chen, H. Bowman, H. Power, Algunos comentarios sobre el uso de funciones de base radial en el método de reciprocidad dual, mecánica computacional . 21 (1998) 141-148.
- ^ CM Fan, CS Chen, J. Monroe, El método de soluciones fundamentales para resolver ecuaciones de convección-difusión con coeficientes variables, Avances en Matemática Aplicada y Mecánica . 1 (2009) 215–230
- ^ YC Hon, T. Wei, El método de solución fundamental para resolver problemas multidimensionales de conducción de calor inversa, CMES Comput. Modelo. Ing. Sci . 7 (2005) 119–132
- ^ AKG Fairweather, El método de soluciones fundamentales para problemas de valor de frontera elíptica, Avances en matemáticas computacionales . 9 (1998) 69–95.