En análisis numérico , el método de límite singular (SBM) pertenece a una familia de técnicas de colocación de límite sin malla que incluyen el método de soluciones fundamentales (MFS), [1] [2] [3] método de nudo límite (BKM), [4] método sin malla regularizado (RMM), [5] método de partículas límite (BPM), [6] MFS modificado, [7] y así sucesivamente. Esta familia de métodos de colocación de formas fuertes está diseñada para evitar la integración numérica singular y la generación de mallas en el método tradicional de elementos de contorno. (BEM) en la solución numérica de problemas de valores en la frontera con nodos en la frontera, en los que se conoce explícitamente una solución fundamental de la ecuación gobernante.
La característica sobresaliente del SBM es superar el límite ficticio en el método de solución fundamental, manteniendo todos los méritos de este último. El método ofrece varias ventajas sobre el dominio clásico o los métodos de discretización de límites, entre los que se encuentran:
- sin malla. El método no requiere mallado de dominios ni de límites, sino puntos de discretización de solo límites;
- libre de integración. La integración numérica de núcleos singulares o casi singulares podría resultar problemática, cara y complicada, como en el caso, por ejemplo, del método del elemento de frontera;
- Discretización de sólo límites para problemas homogéneos. El SBM comparte todas las ventajas del BEM sobre los métodos de discretización de dominio, como los métodos de elementos finitos o diferencias finitas;
- para superar la desconcertante frontera ficticia en el método de las soluciones fundamentales (véanse las figuras 1 y 2), gracias a la introducción del concepto del factor de intensidad de origen, que aísla la singularidad de las soluciones fundamentales.
El SBM proporciona una alternativa significativa y prometedora a los métodos populares de tipo límite, como BEM y MFS, en particular, para dominios infinitos, ondas, estructuras de paredes delgadas y problemas inversos.
Historia del método del límite singular
La metodología del SBM fue propuesta por primera vez por Chen y sus colaboradores en 2009. [8] [9] La idea básica es introducir un concepto del factor de intensidad de origen para aislar la singularidad de las soluciones fundamentales para que los puntos fuente puedan ser colocado directamente en el límite real. En comparación, el método de soluciones fundamentales requiere un límite ficticio para colocar los puntos de origen para evitar la singularidad de la solución fundamental. Desde entonces, el SBM se ha aplicado con éxito a una variedad de problemas físicos, como problemas potenciales, [10] [11] problema de dominio infinito, [12] problema de Helmholtz, [13] y problema de elasticidad del plano. [14]
Existen dos técnicas para evaluar el factor de intensidad de origen. El primer enfoque consiste en colocar un grupo de nodos de muestra dentro del dominio del problema y calcular las ecuaciones algebraicas. La estrategia genera costos computacionales adicionales y hace que el método no sea tan eficiente como se esperaba en comparación con el MFS. El segundo enfoque [15] [16] es emplear una técnica de regularización para cancelar las singularidades de la solución fundamental y sus derivadas. En consecuencia, los factores de intensidad de origen se pueden determinar directamente sin utilizar ningún nodo de muestra. Este esquema hace que el método sea más estable, preciso, eficiente y amplía su aplicabilidad.
Desarrollos recientes
Problemas con el efecto de la capa límite
Como todos los otros métodos numéricos de tipo límite, también se observa que el SBM encuentra una caída dramática de la precisión de la solución en la región cercana al límite. A diferencia de la singularidad en el origen, la solución fundamental en las regiones cercanas al límite sigue siendo finita. Sin embargo, en lugar de ser una función plana, la función de interpolación desarrolla un pico agudo cuando el punto de campo se acerca al límite. En consecuencia, los núcleos se vuelven "casi singulares" y no se pueden calcular con precisión. Esto es similar al llamado efecto de capa límite que se encuentra en los métodos basados en BEM.
Se puede emplear una transformación no lineal, basada en la función sinh , para eliminar o amortiguar las variaciones rápidas de los granos casi singulares. [17] Como resultado, el molesto efecto de la capa límite en el SBM se ha solucionado con éxito. La implementación de esta transformación es sencilla y se puede integrar fácilmente en los programas de SBM existentes. Para los problemas de prueba estudiados, se obtienen resultados muy prometedores incluso cuando la distancia entre el punto de campo y el límite es tan pequeña como 1 × 10 - 10 .
Problemas a gran escala
Al igual que el MFS y el BEM, el SBM producirá matrices de coeficientes densos, cuyo recuento de operaciones y los requisitos de memoria para la acumulación de ecuaciones matriciales son del orden de O ( N 2 ), que es computacionalmente demasiado costoso para simular problemas a gran escala.
El método rápido multipolar (FMM) puede reducir tanto el tiempo de CPU como los requisitos de memoria de O ( N 2 ) a O ( N ) u O ( N log N ). Con la ayuda de FMM, el SBM puede ser completamente capaz de resolver un problema a gran escala de varios millones de incógnitas en un escritorio. Este rápido algoritmo expande drásticamente el territorio aplicable del SBM a problemas mucho mayores de lo que era posible anteriormente.
Ver también
Referencias
- ^ método de soluciones fundamentales (MFS)
- ^ Golberg MA, Chen CS, Ganesh M, "Soluciones particulares de ecuaciones de tipo Helmholtz en 3D que utilizan funciones de base radial con soporte compacto", Eng Anal Bound Elem 2000; 24 (7-8): 539-47.
- ^ Fairweather G, Karageorghis A, "El método de soluciones fundamentales para problemas de valor de frontera elíptica", Adv Comput Math 1998; 9 (1): 69-95.
- ^ Chen W, Tanaka M, " Una técnica de RBF sin malla, sin integración y sin límites. Archivado el 4 de marzo de 2016 en la Wayback Machine ", Comput Math Appl 2002; 43 (3-5): 379-91.
- ^ DL Young, KH Chen, CW Lee, "Nuevo método sin malla para resolver los problemas potenciales con dominio arbitrario", J Comput Phys 2005; 209 (1): 290-321.
- ^ método de partículas límite (BPM)
- ^ Sarler B, "Solución de posibles problemas de flujo mediante el método modificado de soluciones fundamentales: formulaciones con las soluciones fundamentales de una sola capa y de doble capa", Eng Anal Bound Elem 2009; 33 (12): 1374–82.
- ^ Chen W, " Método de límite singular: un método numérico de colocación de límite novedoso, simple, sin malla ", Chin J Solid Mech 2009; 30 (6): 592-9.
- ^ Chen W, Wang FZ, " Un método de soluciones fundamentales sin límite ficticio Archivado el 6 de junio de 2015 en la Wayback Machine ", Eng Anal Bound Elem 2010; 34 (5): 530–32.
- ^ Wei X, Chen W, Fu ZJ, "Solución de problemas no homogéneos mediante el método de límite singular", J Mar SCI Tech 2012; 20 (5).
- ^ Chen W, Fu ZJ, Wei X, " Problemas potenciales por el método de límite singular que satisface la condición del momento ", Comput Model Eng Sci 2009; 54 (1): 65-85.
- ^ Chen W, Fu Z, " Un nuevo método numérico para problemas potenciales de dominio infinito ", Chin Sci Bull 2010; 55 (16): 1598–603.
- ^ Fu ZJ, Chen W, "Un novedoso método sin malla de límites para problemas de radiación y dispersión", Avances en las técnicas de elementos de contorno XI, Actas de la 11ª Conferencia internacional , 12-14 de julio de 2010, 83-90, publicado por EC Ltd, Estados Reino ( ISBN 978-0-9547783-7-8 )
- ^ Gu Y, Chen W, Zhang CZ., " Método de límite singular para resolver problemas elastostáticos de deformación plana ", Int J Solids Struct 2011; 48 (18): 2549–56.
- ^ Chen W, Gu Y, " Avances recientes en el método de límite singular ", Taller internacional conjunto sobre el método Trefftz VI y el método de solución fundamental II , Taiwán 2011.
- ^ Gu Y, Chen, W, " Método de límite singular mejorado para problemas potenciales tridimensionales ", Revista china de mecánica teórica y aplicada , 2012, 44 (2): 351-360 (en chino)
- ^ Gu Y, Chen W, Zhang J, " Investigación sobre soluciones cercanas al límite por el método de límite singular ", Eng Anal Bound Elem 2012; 36 (8): 117–82.
enlaces externos
- Funciones de distancia del núcleo y funciones de base radial
- Método de límite singular