Función limitada

Tipo de función matemática cuyos valores están acotados

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Una ilustración esquemática de una función limitada (rojo) y una ilimitada (azul). Intuitivamente, la gráfica de una función acotada permanece dentro de una banda horizontal, mientras que la gráfica de una función ilimitada no.

En matemáticas , una función f definida en algún conjunto X con valores reales o complejos se llama acotada si el conjunto de sus valores está acotado . En otras palabras, existe un número real M tal que

${\displaystyle |f(x)|\leq M}$

para todos x en X . ^[1] Se dice que una función que no está acotada es ilimitada . ^{[ cita requerida ]}

Si f es valorado real, y f ( x ) ≤ A para todos x en X , entonces se dice que la función limitada (de) anterior por A . Si f ( x ) ≥ B para todo x en X , entonces la función se dice que está delimitada (de) a continuación por B . Una función de valor real está acotada si y solo si está acotada desde arriba y desde abajo. ^{[1] [se necesitan citas adicionales ]}

Un caso especial importante es una secuencia acotada , donde X se toma como el conjunto N de números naturales . Así, una secuencia f = ( a ₀ , a ₁ , a ₂ , ...) está acotada si existe un número real M tal que

${\displaystyle |a_{n}|\leq M}$

para cada número natural n . El conjunto de todas las secuencias acotadas forma el espacio de secuencia . ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle l^{\infty }}$

La definición de acotación se puede generalizar a funciones f: X → Y toma valores en un espacio más general Y al exigir que la imagen f (X) es un conjunto acotado en Y . ^{[ cita requerida ]}

Nociones relacionadas

Más débil que la delimitación es la delimitación local . Una familia de funciones acotadas puede estar acotada uniformemente .

Un operador acotado T: X → Y no es una función acotada en el sentido de la definición de esta página (a menos que T = 0 ), pero tiene la propiedad más débil de preservar la acotación : los conjuntos acotados M ⊆ X se asignan a los conjuntos acotados T (M) ⊆ Y. Esta definición puede extenderse a cualquier función f  : X → Y si X e Y permiten el concepto de conjunto acotado. La delimitación también se puede determinar mirando un gráfico. ^{[ cita requerida ]}

Ejemplos de

• La función seno sin: R → R está acotada ya que para todos . ^{[1] [2] [ cita (s) adicional (es) necesarias ]}${\displaystyle |\sin(x)|\leq 1}$${\displaystyle x\in \mathbf {R} }$
• La función , definida para todo x real excepto para −1 y 1, es ilimitada. A medida que x se acerca a -1 o 1, los valores de esta función aumentan cada vez más en magnitud. Esta función se puede hacer acotada si se considera que su dominio es, por ejemplo, [2, ∞) o (−∞, −2]. ^{[ Cita requerida ]}${\displaystyle f(x)=(x^{2}-1)^{-1}}$

• La función , definida para todo x real , está acotada. ^{[ cita requerida ]}${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$
• La función trigonométrica inversa arctangent definida como: y = arctan ( x ) o x = tan ( y ) es creciente para todos los números reales x y acotada con - π / 2 < y < π / 2 radianes ^[3]
• Según el teorema de la acotación , toda función continua en un intervalo cerrado, como f  : [0, 1] → R , está acotada. ^[4] De manera más general, cualquier función continua desde un espacio compacto a un espacio métrico está acotada. ^{[ cita requerida ]}
• Todas las funciones de valores complejos f  : C → C que son completas son ilimitadas o constantes como consecuencia del teorema de Liouville . ^[5] En particular, el complejo sin: C → C debe ser ilimitado ya que es completo. ^{[ cita requerida ]}
• La función f que toma el valor 0 para x número racional y 1 para x número irracional (cf. función de Dirichlet ) está acotada. Por lo tanto, una función no necesita ser "agradable" para estar acotada. El conjunto de todas las funciones limitadas definidas en [0, 1] es mucho mayor que el conjunto de funciones continuas en ese intervalo. ^{[ cita requerida ]} Además, las funciones continuas no necesitan estar limitadas; por ejemplo, las funciones y definidas por y son continuas, pero ninguna está limitada. ^[6]${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle h:(0,1)^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle g(x,y):=x+y}$${\displaystyle h(x,y):={\frac {1}{x+y}}}$(Sin embargo, una función continua debe estar acotada si su dominio es cerrado y acotado ^[6] ).

Referencias

1. Jeffrey, Alan (13 de junio de 1996). Matemáticas para ingenieros y científicos, 5ª edición . Prensa CRC. ISBN 978-0-412-62150-5.
2. "Las funciones seno y coseno" (PDF) . math.dartmouth.edu . Archivado (PDF) desde el original el 2 de febrero de 2013 . Consultado el 1 de septiembre de 2021 .
3. Polyanin, Andrei D .; Chernoutsan, Alexei (18 de octubre de 2010). Un manual conciso de matemáticas, física y ciencias de la ingeniería . Prensa CRC. ISBN 978-1-4398-0640-1.
4. Weisstein, Eric W. "Teorema del valor extremo" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 1 de septiembre de 2021 .
5. "Teoremas de Liouville - enciclopedia de matemáticas" . encyclopediaofmath.org . Consultado el 1 de septiembre de 2021 .
6. Ghorpade, Sudhir R .; Limaye, Balmohan V. (20 de marzo de 2010). Un curso de análisis y cálculo multivariable . Springer Science & Business Media. pag. 56. ISBN 978-1-4419-1621-1.

Ver también

• Conjunto acotado
• Soporte compacto
• Delimitación local
• Delimitación uniforme