Operador acotado

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En análisis funcional y teoría de operadores , un operador lineal acotado es una transformación lineal entre espacios vectoriales topológicos (TVS) y que mapea subconjuntos acotados de a subconjuntos acotados de If y son espacios vectoriales normalizados (un tipo especial de TVS), entonces está acotado si y solo si existe alguno tal que para todos${\ Displaystyle L: X \ a Y}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y.}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle M> 0}$${\ Displaystyle x \ in X,}$

El concepto de operador lineal acotado se ha extendido desde los espacios normativos a ciertos a todos los espacios vectoriales topológicos.

Fuera del análisis funcional, cuando una función se llama " acotada ", esto generalmente significa que su imagen es un subconjunto acotado de su codominio. Un mapa lineal tiene esta propiedad si y solo si es idénticamente. En consecuencia, en el análisis funcional, cuando un operador lineal se llama "acotado", nunca se entiende en este sentido abstracto (de tener una imagen acotada). ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$ ${\ Displaystyle f (X)}$${\ Displaystyle 0.}$

Cada operador acotado es Lipschitz continuo en${\ Displaystyle 0.}$

Supongamos que está acotado. Entonces, para todos los vectores con diferente de cero tenemos${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle x, h \ en X}$${\ Displaystyle h}$

A la inversa, de la continuidad en el vector cero se deduce que existe tal que para todos los vectores con Así, para todos los distintos de cero, uno tiene${\ Displaystyle \ delta> 0}$${\ Displaystyle \ | L (h) \ | = \ | L (h) -L (0) \ | \ leq 1}$${\ Displaystyle h \ en X}$${\ Displaystyle \ | h \ | \ leq \ delta.}$${\ Displaystyle x \ in X,}$

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