En topología , el producto cartesiano de espacios topológicos puede recibir varias topologías diferentes. Una de las opciones más obvias es la topología de caja , donde los productos cartesianos de conjuntos abiertos en los espacios componentes dan una base . [1] Otra posibilidad es la topología del producto , donde una base viene dada por los productos cartesianos de conjuntos abiertos en los espacios de los componentes, sólo un número finito de los cuales pueden no ser iguales a todo el espacio del componente.
Si bien la topología de caja tiene una definición algo más intuitiva que la topología de producto, satisface menos propiedades deseables. En particular, si todos los espacios de los componentes son compactos , la topología de caja en su producto cartesiano no será necesariamente compacta, aunque la topología de producto en su producto cartesiano siempre será compacta. En general, la topología de caja es más fina que la topología de producto, aunque las dos están de acuerdo en el caso de productos directos finitos (o cuando todos los factores, salvo una finita, son triviales ).
Definición
Dado tal que
o el (posiblemente infinito) producto cartesiano de los espacios topológicos , indexado por, la topología de caja enes generado por la base
El cuadro de nombre proviene del caso de R n , en el que los conjuntos de bases se ven como cuadros.
Propiedades
Topología de caja en R ω : [2]
- La topología de caja es completamente regular
- La topología de caja no es compacta ni está conectada
- La topología de caja no se puede contar primero (por lo tanto, no se puede medir )
- La topología de caja no es separable
- La topología de caja es paracompacta (y por lo tanto normal y completamente regular) si la hipótesis del continuo es verdadera
Ejemplo: falla de continuidad
El siguiente ejemplo se basa en el cubo de Hilbert . Deje que R ω denotar el producto cartesiano numerable de R con sí mismo, es decir, el conjunto de todas las secuencias en R . Equipe R con la topología estándar y R ω con la topología de caja. Definir:
Entonces, todas las funciones componentes son la identidad y, por lo tanto, continuas; sin embargo, mostraremos que f no es continua. Para ver esto, considere el conjunto abierto
Suponga que f fuera continua. Entonces, desde:
debería existir tal que Pero esto implicaría que
que es falso ya que por Por tanto, f no es continua aunque todas sus funciones componentes lo sean.
Ejemplo: falla de compacidad
Considere el producto contable donde para cada i ,con la topología discreta. La topología de caja entambién será la topología discreta. Dado que los espacios discretos son compactos si y solo si son finitos, inmediatamente vemos que no es compacto, aunque los espacios que lo componen sí lo son.
tampoco es secuencialmente compacto: considere la secuencia dada por
Dado que no hay dos puntos en la secuencia que sean iguales, la secuencia no tiene un punto límite y, por lo tanto, no es secuencialmente compacto.
Convergencia en la topología de caja
Las topologías a menudo se comprenden mejor al describir cómo convergen las secuencias. En general, un producto cartesiano de un espacioconsigo mismo sobre un conjunto de indexación es precisamente el espacio de funciones de a , denotado. La topología del producto produce la topología de convergencia puntual ; secuencias de funciones convergen si y sólo si convergen en cada punto de.
Debido a que la topología de caja es más fina que la topología de producto, la convergencia de una secuencia en la topología de caja es una condición más estricta. Asumiendo es Hausdorff, una secuencia de funciones en converge en la topología de caja a una función si y solo si converge puntualmente a y hay un subconjunto finito y hay un tal que para todos la secuencia en es constante para todos . En otras palabras, la secuencia eventualmente es constante para casi todos y de manera uniforme. [3]
Comparación con la topología de productos
Los conjuntos de bases en la topología de productos tienen casi la misma definición que los anteriores, excepto con la salvedad de que todos, excepto un número finito de U i, son iguales al espacio de componentes X i . La topología del producto satisface una propiedad muy deseable para los mapas f i : Y → X i en los espacios de los componentes: el mapa del producto f : Y → X definido por las funciones componentes f i es continuo si y solo si todos los f i son continuos. Como se muestra arriba, esto no siempre se cumple en la topología de caja. En realidad, esto hace que la topología de caja sea muy útil para proporcionar contraejemplos; muchas cualidades como compacidad , conectividad , metrizabilidad, etc., si las poseen los espacios de factores, en general no se conservan en el producto con esta topología.
Ver también
Notas
- ^ Willard, 8.2 págs. 52-53,
- ^ Steen, Seebach, 109. págs. 128-129.
- ^ Scott, Brian M. "Diferencia entre el comportamiento de una secuencia y una función en la topología de producto y caja en el mismo conjunto" . math.stackexchange.com .
Referencias
- Steen, Lynn A. y Seebach, J. Arthur Jr .; Contraejemplos en topología , Holt, Rinehart y Winston (1970). ISBN 0030794854 .
- Willard, Stephen (2004). Topología general . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-43479-6.