En geometría , el teorema de Brianchon es un teorema que establece que cuando un hexágono está circunscrito alrededor de una sección cónica , sus diagonales principales (las que conectan vértices opuestos) se encuentran en un solo punto. Lleva el nombre de Charles Julien Brianchon (1783–1864).
Declaración formal
Dejar ser un hexágono formado por seis rectas tangentes de sección cónica . Luego líneas(diagonales extendidas, cada una conectando vértices opuestos) se cruzan en un solo punto , el punto de Brianchon . [1] : pág. 218 [2]
Conexión con el teorema de Pascal
El dual polar recíproco y proyectivo de este teorema dan el teorema de Pascal .
Degeneraciones
En cuanto al teorema de Pascal, también existen degeneraciones para el teorema de Brianchon: hagamos coincidir dos tangentes vecinas. Su punto de intersección se convierte en un punto de la cónica. En el diagrama coinciden tres pares de tangentes vecinas. Este procedimiento da como resultado un enunciado sobre inelipses de triángulos. Desde un punto de vista proyectivo, los dos triángulos y mentir en perspectiva con el centro . Eso significa que existe una colineación central, que mapea uno sobre el otro triángulo. Pero solo en casos especiales esta colineación es una escala afín. Por ejemplo, para un Steiner inellipse, donde el punto de Brianchon es el centroide.
En el plano afín
El teorema de Brianchon es cierto tanto en el plano afín como en el plano proyectivo real . Sin embargo, su enunciado en el plano afín es en cierto sentido menos informativo y más complicado que el del plano proyectivo . Considere, por ejemplo, cinco rectas tangentes a una parábola . Estos pueden considerarse lados de un hexágono cuyo sexto lado es la línea en el infinito , pero no hay línea en el infinito en el plano afín. En dos casos, una línea desde un vértice (inexistente) hasta el vértice opuesto sería una línea paralela a una de las cinco líneas tangentes. Por lo tanto, el teorema de Brianchon enunciado solo para el plano afín tendría que expresarse de manera diferente en tal situación.
El dual proyectivo del teorema de Brianchon tiene excepciones en el plano afín pero no en el plano proyectivo.
Prueba
El teorema de Brianchon se puede demostrar mediante la idea de eje radical o reciprocidad.
Ver también
Referencias
- ^ Whitworth, William Allen. Coordenadas trilineales y otros métodos de geometría analítica moderna de dos dimensiones , Forgotten Books, 2012 (orig. Deighton, Bell y Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books
- ^ Coxeter, HSM (1987). Geometría proyectiva (2ª ed.). Springer-Verlag. Teorema 9.15, pág. 83. ISBN 0-387-96532-7.