En geometría triangular , una inelipse es una elipse que toca los tres lados de un triángulo . El ejemplo más simple es el incírculo . Otras inellipse importantes son la inellipse de Steiner , que toca el triángulo en los puntos medios de sus lados, la inellipse de Mandart y la inellipse de Brocard (ver sección de ejemplos ). Para cualquier triángulo existe un número infinito de inelipses.
El Steiner inellipse juega un papel especial: su área es la más grande de todas las inellipses.
Debido a que una sección cónica no degenerada está determinada únicamente por cinco elementos de los conjuntos de vértices y tangentes, en un triángulo cuyos tres lados se dan como tangentes, se pueden especificar solo los puntos de contacto en dos lados. El tercer punto de contacto se determina de forma única.
La inelipse de un triángulo está determinada únicamente por los vértices del triángulo y dos puntos de contacto.
.
La inelipse del triángulo con vértices
y puntos de contacto
en y respectivamente, puede ser descrito por la representación paramétrica racional
dónde están determinados únicamente por la elección de los puntos de contacto:
El tercer punto de contacto es
El centro de la inelipse es
Los vectores
son dos medios diámetros conjugados y el inelipse tiene la representación paramétrica trigonométrica más común
Punto de Brianchon
El punto de Brianchon de la inelipse (punto común de las lineas ) es
Variar es una opción fácil para prescribir los dos puntos de contacto . Los límites dados paraGarantizar que los puntos de contacto estén ubicados en los lados del triángulo. Ellos proveen para los limites .
Observación: los parámetros no son ni los semiejes de la inelipse ni las longitudes de dos lados.
Steiner inellipse
Para los puntos de contacto son los puntos medios de los lados y el inelipse es el inellipse de Steiner (su centro es el centroide del triángulo).
Rodear
Para se obtiene el círculo del triángulo con centro
Mandart inellipse
Para el inelipse es el inelipse Mandart del triángulo. Toca los lados en los puntos de contacto de los excircles (ver diagrama).
Brocard inellipse
Para uno recibe la inellipse de Brocard . Está determinado únicamente por su punto de Brianchon dado en coordenadas trilineales .
Determinación de la inelipse resolviendo el problema de una hipérbola en un
-
-plano y una transformación adicional de la solución en el plano
x -
y .
es el centro de la inelipse buscada y
dos diámetros conjugados. En ambos planos los puntos esenciales están asignados por los mismos símbolos.
es la línea en el infinito del plano
x -
y .
- Nuevas coordenadas
Para la prueba de los enunciados, se considera la tarea de manera proyectiva e introduce convenientes nuevos inhomógenos--coordina de tal manera que la sección cónica deseada aparece como una hipérbola y los puntosse convierten en los puntos en el infinito de los nuevos ejes de coordenadas. Los puntos se describirá en el nuevo sistema de coordenadas por y la línea correspondiente tiene la ecuación . (Debajo resultará que tienen de hecho el mismo significado introducido en el enunciado anterior). Ahora se busca una hipérbola con los ejes de coordenadas como asíntotas, que toque la línea . Esta es una tarea sencilla. Por un simple cálculo se obtiene la hipérbola con la ecuación. Toca la linea en el punto .
- Transformación de coordenadas
La transformación de la solución en el plano x - y se realizará utilizando coordenadas homogéneas y la matriz
- .
Un punto está mapeado en
Un punto de El --plano está representado por el vector columna (ver coordenadas homogéneas ). Un punto en el infinito está representado por.
- Coordinar la transformación de puntos esenciales
- (Uno debe considerar: ; véase más arriba.)
es la ecuación de la línea en el infinito del plano x - y ; su punto en el infinito es.
De ahí el punto en el infinito de (en --plane) se asigna a un punto en el infinito del plano x - y . Eso significa: Las dos tangentes de la hipérbola, que son paralelas a, también son paralelos en el plano x - y . Sus puntos de contacto son
Debido a que la elipse es tangente en puntos son paralelos, el acorde es un diámetro y su punto medio es el centro de la elipse
Uno comprueba fácilmente que tiene el --coordenadas
Para determinar el diámetro de la elipse, que se conjuga a , en el --plano uno tiene que determinar los puntos comunes de la hipérbola con la línea a través paralelo a las tangentes (su ecuación es ). Uno consigue. Y en las coordenadas x - y :
De los dos diámetros conjugados se pueden recuperar los dos medios diámetros vectoriales conjugados
y al menos la representación paramétrica trigonométrica de la inelipse:
De manera análoga al caso de una elipse de Steiner, se pueden determinar semiejes, excentricidad, vértices, una ecuación en las coordenadas x - y y el área de la inelipse.
El tercer punto de contacto en es:
El punto Brianchon de la inelipse es el punto común. de las tres líneas . En el--plana estas rectas tienen las ecuaciones: . De ahí el punto tiene las coordenadas:
Transformando la hipérbola produce la representación paramétrica racional de la inelipse:
- Rodear
Para el círculo hay , que es equivalente a
- (1) Adicionalmente
- (2). (ver diagrama)
Resolviendo estas dos ecuaciones para uno obtiene
- (3)
Para obtener las coordenadas del centro, primero se calcula usando (1) y (3)
Por eso
- Mandart inellipse
Los parametros para el Mandart inellipse se puede recuperar de las propiedades de los puntos de contacto (ver de: Ankreis ).
- Brocard inellipse
La inelipse de Brocard de un triángulo está determinada únicamente por su punto de Brianchon dado en coordenadas trilineales . [1] Cambiar las coordenadas trilineales a la representación más conveniente(ver coordenadas trilineales ) produce. Por otro lado, si los parámetros de una inelipse se dan, se calcula a partir de la fórmula anterior para : . Igualar ambas expresiones para y resolviendo para rendimientos
- La inelipse de Steiner tiene el área más grande de todas las inelipsis de un triángulo.
- Prueba
Del teorema de Apolonio sobre las propiedades de los semidiámetros conjugados de una elipse se obtiene:
- (ver artículo sobre la elipse de Steiner ).
Para la inelipse con parámetros uno obtiene
dónde .
Para omitir las raíces, basta con investigar los extremos de la función:
Porque se obtiene a partir del intercambio de s y t :
Solución de ambas ecuaciones para s y t rendimientos
- que son los parámetros de la Steiner inellipse.
Tres inelipsis de un triángulo que se tocan mutuamente