En geometría, el eje radical de dos círculos no concéntricos es una línea definida a partir de los dos círculos, perpendicular a la línea que conecta los centros de los círculos. Si los círculos se cruzan, su eje radical es la línea que pasa por sus dos puntos de cruce, y si son tangentes , es su línea de tangencia. Para dos círculos disjuntos, el eje radical es el lugar geométrico de los puntos en los que las tangentes dibujadas a ambos círculos tienen la misma longitud.
Independientemente de si los dos círculos definitorios se cruzan, son tangentes o están disjuntos, su eje radical es el lugar geométrico de los puntos cuya potencia con respecto a los dos círculos es igual. Por esta razón, el eje radical también se denomina línea eléctrica o bisectriz de potencia de los dos círculos. La potencia de un punto con respecto a un círculo es la distancia euclidiana al cuadrado del punto al centro del círculo, menos el radio al cuadrado del círculo. Por un punto fuera de un círculo , su potencia es un número positivo, el radio de otro círculo centrado en que cruza a ángulos correctos. Por lo tanto, los puntos del eje radical que están fuera de sus círculos definitorios son los centros de círculos que cruzan ambos círculos definitorios en ángulos rectos. [1]
En general, dos círculos no concéntricos, disjuntos cualesquiera, pueden alinearse con los círculos de un sistema de coordenadas bipolares . En ese caso, el eje radical es simplemente el-Eje de este sistema de coordenadas. Cada círculo en el eje que pasa por los dos focos del sistema de coordenadas interseca los dos círculos ortogonalmente. Una colección máxima de círculos, todos con centros en una línea dada y todos los pares con el mismo eje radical, se conoce como lápiz de círculos coaxiales .
Centro radical de tres círculos
Considere tres círculos A , B y C , ninguno de los cuales es concéntrico. El teorema del eje radical establece que los tres ejes radicales (para cada par de círculos) se cruzan en un punto llamado centro radical , o son paralelos. [2] En lenguaje técnico, los tres ejes radicales son concurrentes (comparten un punto común); si son paralelos, concurren en un punto de infinito.
Una prueba simple es la siguiente. [3] El eje radical de los círculos A y B se define como la línea a lo largo de la cual las tangentes a esos círculos son iguales en longitud a = b . De manera similar, las tangentes a los círculos B y C deben tener la misma longitud en su eje radical. Por la transitividad de la igualdad , las tres tangentes son iguales a = b = c en el punto de intersección r de esos dos ejes radicales. Por tanto, el eje radical de los círculos A y C debe pasar por el mismo punto r , ya que a = c allí. Este punto de intersección común r es el centro radical .
Hay un círculo único con su centro en el centro radical que es ortogonal a los tres círculos. Esto se sigue, también por transitividad, porque cada eje radical, al ser el lugar geométrico de los centros de los círculos que cortan ortogonalmente cada par de círculos dados, requiere que los tres círculos tengan el mismo radio en la intersección de los tres ejes.
Construcción geométrica
El eje radical de dos círculos A y B se puede construir trazando una línea a través de dos puntos cualesquiera en el eje. Se puede encontrar un punto en el eje dibujando un círculo C que intersecte los círculos A y B en dos puntos. Las dos líneas que pasan a través de cada par de puntos de intersección son los ejes radicales de A y C y de B y C . Estas dos líneas se cruzan en un punto J que es el centro radical de los tres círculos, como se describió anteriormente ; Por lo tanto, este punto también se encuentra en el eje radical de A y B . La repetición de este proceso con otro círculo tal D proporciona un segundo punto K . El eje radical es la línea que pasa a través tanto de J y K .
Un caso especial de este abordaje, visto en la Figura 3, se realiza con puntos antihomólogos de un centro de similitud interno o externo. Considere dos rayos que emanan de un centro de homotecia externa E . Dejemos que los pares antihomólogos de puntos de intersección de estos rayos con los dos círculos dados se denoten como P y Q , y S y T , respectivamente. Estos cuatro puntos se encuentran en un círculo común que interseca los dos círculos dados en dos puntos cada uno. [4] Por lo tanto, las dos líneas que unen P y S , y Q y T se cruzan en el centro radical de los tres círculos, que se encuentra en el eje radical de los círculos dados. [5] De manera similar, la línea que une dos puntos antihomólogos en círculos separados y sus tangentes forman un triángulo isósceles, con ambas tangentes de igual longitud. [6] Por lo tanto, tales tangentes se encuentran en el eje radical. [5]
Construcción algebraica
Con referencia a la Figura 4, el eje radical (rojo) es perpendicular al segmento de línea azul que une los centros B y V de los dos círculos dados, cruzando ese segmento de línea en un punto K entre los dos círculos. Por lo tanto, es suficiente para encontrar la distancia x 1 o x 2 de K a B o V , respectivamente, en donde x 1 + x 2 es igual a D , la distancia entre B y V .
Considere un punto J en el eje del radical y denoten sus distancias a B y V como d 1 y d 2 , respectivamente. Dado que J debe tener la misma potencia con respecto a ambos círculos, se deduce que
donde r 1 y r 2 son los radios de los dos círculos dados. Según el teorema de Pitágoras , las distancias d 1 y d 2 se pueden expresar en términos de x 1 , x 2 y L , la distancia de J a K
Al cancelar L 2 en ambos lados de la ecuación, la ecuación se puede escribir
Dividiendo ambos lados por D = x 1 + x 2 da como resultado la ecuación
Al sumar esta ecuación ax 1 + x 2 = D se obtiene una fórmula para x 1
Restando la misma ecuación se obtiene la fórmula correspondiente para x 2
Cálculo de determinantes
Si los círculos se representan en coordenadas trilineales de la manera habitual, entonces su centro radical se da convenientemente como un determinado determinante. Específicamente, supongamos que X = x : y : z denota un punto variable en el plano de un triángulo ABC con longitudes de lado a = | BC |, b = | CA |, c = | AB |, y representa los círculos de la siguiente manera:
- ( dx + ey + fz ) ( ax + by + cz ) + g ( ayz + bzx + cxy ) = 0
- ( hx + iy + jz ) ( ax + by + cz ) + k ( ayz + bzx + cxy ) = 0
- ( lx + my + nz ) ( ax + by + cz ) + p ( ayz + bzx + cxy ) = 0
Entonces el centro radical es el punto
Plano radical e hiperplano
El plano radical de dos esferas no concéntricas en tres dimensiones se define de manera similar: es el lugar geométrico de los puntos a partir de los cuales las tangentes a las dos esferas tienen la misma longitud. [7] El hecho de que este lugar geométrico sea un plano se sigue por rotación en la tercera dimensión del hecho de que el eje radical es una línea recta.
La misma definición se puede aplicar a las hiperesferas en el espacio euclidiano de cualquier dimensión, dando el hiperplano radical de dos hiperesferas no concéntricas.
Notas
Referencias
- RA Johnson (1960). Geometría euclidiana avanzada: Tratado elemental sobre la geometría del triángulo y el círculo (reimpresión de la edición de 1929 de Houghton Miflin ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. págs. 31 –43. ISBN 978-0-486-46237-0.
Otras lecturas
- C. Stanley Ogilvy (1990). Excursiones en geometría . Dover. págs. 17–23 . ISBN 0-486-26530-7.
- HSM Coxeter , SL Greitzer (1967). La geometría revisada . Washington, DC : Asociación Matemática de América . págs. 31 –36, 160–161. ISBN 978-0-88385-619-2.
- Clark Kimberling, "Centros triangulares y triángulos centrales", Congressus Numerantium 129 (1998) i – xxv, 1–295.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Línea radical" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Teorema de cuerdas" . MathWorld .
- Animación en Cut-the-knot