Lo hace tienen soluciones enteras distintas de ?
El problema de Brocard es un problema en las matemáticas que pregunta para encontrar enteros valores de n y m para los cuales
donde n ! es el factorial . Fue planteado por Henri Brocard en un par de artículos en 1876 y 1885, e independientemente en 1913 por Srinivasa Ramanujan .
Números marrones
Los pares de números ( n , m ) que resuelven el problema de Brocard se llaman números marrones . En mayo de 2021, solo hay tres pares conocidos de números marrones:
- (4,5), (5,11) y (7,71).
Paul Erdős conjeturó que no existen otras soluciones. Overholt (1993) mostró que solo hay un número finito de soluciones siempre que la conjetura abc sea cierta. Berndt y Galway (2000) realizaron cálculos para n hasta 10 9 y no encontraron más soluciones. Matson (2017) ha ampliado esto en tres órdenes de magnitud hasta un billón. Epstein y Glickman (2020) han ampliado recientemente esto en tres órdenes de magnitud más hasta un cuatrillón.
Variantes del problema
Dabrowski (1996) generalizó el resultado de Overholt mostrando que se seguiría de la conjetura abc de que
tiene solo un número finito de soluciones, para cualquier entero A dado . Este resultado fue generalizado aún más por Luca (2002) , quien mostró (asumiendo nuevamente la conjetura abc) que la ecuación
tiene solo un número finito de soluciones enteras para un polinomio dado P ( x ) de grado al menos 2 con coeficientes enteros.
Referencias
- Berndt, Bruce C .; Galway, William F. (2000), "La ecuación diofántica de Brocard-Ramanujan n ! + 1 = m 2 " (PDF) , The Ramanujan Journal , 4 : 41–42, doi : 10.1023 / A: 1009873805276 , S2CID 119711158.
- Brocard, H. (1876), "Pregunta 166", Nouv. Corres. Matemáticas. , 2 : 287.
- Brocard, H. (1885), "Pregunta 1532", Nouv. Ana. Matemáticas. , 4 : 391.
- Dabrowski, A. (1996), "Sobre la ecuación diofántica x ! + A = y 2 ", Nieuw Arch. Wisk. , 14 : 321–324.
- Epstein, Andrew ; Glickman, Jacob (2020), C ++ Brocard GitHub Repository.
- Guy, RK (1994), "D25: Equations Involving Factorial", Problemas no resueltos en teoría de números (2ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. 193-194, ISBN 0-387-90593-6.
- Luca, Florian (2002), "La ecuación diofántica P ( x ) = n ! Y un resultado de M. Overholt" (PDF) , Glasnik Matematički , 37 (57): 269-273.
- Matson, Robert (2017), "Búsqueda de la cuarta solución del problema de Brocard utilizando residuos cuadráticos" (PDF) , Problemas no resueltos en teoría de números, lógica y criptografía , archivado desde el original (PDF) el 2018-10-06 , consultado el 2017-05- 07.
- Overholt, Marius (1993), "La ecuación diofántica n ! + 1 = m 2 ", Bull. London Math. Soc. , 25 (2): 104, doi : 10.1112 / blms / 25.2.104.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Problema de Brocard" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Números marrones" . MathWorld .
- Copeland, Ed. "Números marrones" . Numberphile . Brady Haran . Archivado desde el original el 9 de noviembre de 2014 . Consultado el 6 de abril de 2013 .