En relatividad general , el teorema de Buchdahl , que lleva el nombre de Hans Adolf Buchdahl , [1] precisa la noción de que existe una densidad máxima sostenible para la materia gravitante ordinaria. Da una desigualdad entre la masa y el radio que debe satisfacerse para configuraciones de materia estáticas y esféricamente simétricas bajo ciertas condiciones. En particular, para radio de área, la masa debe satisfacer
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dónde es la constante gravitacional yes la velocidad de la luz . Esta desigualdad a menudo se conoce como límite de Buchdahl . Históricamente, el límite también se ha llamado límite de Schwarzschild, ya que Karl Schwarzschild notó por primera vez que existía en el caso especial de un fluido de densidad constante. [2] Sin embargo, esta terminología no debe confundirse con el radio de Schwarzschild, que es notablemente más pequeño que el radio en el límite de Buchdahl.
Teorema
Dada una solución estática y esféricamente simétrica de las ecuaciones de Einstein (sin constante cosmológica ) con materia confinada al radio de áreaque se comporta como un fluido perfecto con una densidad que no aumenta hacia el exterior. Supone además que la densidad y la presión no pueden ser negativas. La masa de esta solución debe satisfacer
Para su demostración del teorema, Buchdahl usa la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) .
Significado
El teorema de Buchdahl es útil cuando se buscan alternativas a los agujeros negros . Estos intentos a menudo se inspiran en la paradoja de la información ; una forma de explicar (parte de) la materia oscura ; o criticar que las observaciones de los agujeros negros se basan en excluir alternativas astrofísicas conocidas (como las estrellas de neutrones ) en lugar de pruebas directas. Sin embargo, para proporcionar una alternativa viable, a veces es necesario que el objeto sea extremadamente compacto y, en particular, viole la desigualdad de Buchdahl. Esto implica que uno de los supuestos del teorema de Buchdahl debe ser inválido. Se puede hacer un esquema de clasificación basado en qué supuestos se violan. [3]
Casos especiales
Fluido incompresible
El caso especial del fluido incompresible o densidad constante, por , es un ejemplo de importancia histórica ya que, en 1916, Schwarzschild señaló por primera vez que la masa no podía exceder el valor para un radio dado o la presión central se volvería infinita. También es un ejemplo particularmente manejable. Dentro de la estrella se encuentra. [4]
y usando la ecuación TOV
tal que la presión central, , diverge como .
Extensiones
Las extensiones al teorema de Buchdahl generalmente relajan los supuestos sobre el tema o sobre la simetría del problema. Por ejemplo, introduciendo materia anistrópica [5] [6] o rotación. [7] Además, también se pueden considerar análogos del teorema de Buchdahl en otras teorías de la gravedad [8] [9]
Referencias
- ^ Buchdahl, HA (15 de noviembre de 1959). "Esferas de fluido relativisitc general". Revisión física . 116 (4): 1027–1034. doi : 10.1103 / PhysRev.116.1027 .
- ^ Grøn, Øyvind (2016). "Celebrando el centenario de las soluciones Schwarzschild". Revista estadounidense de física . 84 (537). doi : 10.1119 / 1.4944031 .
- ^ Cardoso, Vitor; Pani, Paolo (2019). "Prueba de la naturaleza de los objetos compactos oscuros: un informe de estado" . Reseñas vivientes en relatividad . 22 (1). doi : 10.1007 / s41114-019-0020-4 .
- ^ Carroll, Sean M. (2004). Espacio-tiempo y geometría: una introducción a la relatividad general . San Francisco: Addison-Wesley. ISBN 978-0-8053-8732-2.
- ^ Ivanov, Boiko (2002). "Límites máximos en el corrimiento al rojo de la superficie de estrellas anisotrópicas". Physical Review D . 65 (10): 14011. arXiv : gr-qc / 0201090 . doi : 10.1103 / PhysRevD.65.104011 .
- ^ Barraco, Daniel; Hamity, Víctor; Gleiser, Reinaldo (2003). "Esferas anisotrópicas en la relatividad general reexaminadas". Physical Review D . 67 (6): 064003. doi : 10.1103 / PhysRevD.67.064003 .
- ^ Klenk, Jürgen (1998). "Propiedades geométricas de estrellas giratorias en relatividad general". Gravedad clásica y cuántica . 15 (10): 3203. doi : 10.1088 / 0264-9381 / 15/10/021 .
- ^ Rituparno, Goswami; Maharaj, Sunil; Nzioki, Anne Marie (2015). "Límite de Buchdahl-Bondi en gravedad modificada: empaquetamiento de masa extra efectiva en estrellas compactas relativistas". Physical Review D . 92 (6): 064002. doi : 10.1103 / 10.1103 / PhysRevD.92.064002 .
- ^ Feng, W.-X .; Geng, C.-Q .; Luo, L.-W. (2019). "La estabilidad de Buchdahl enlazada en la gravedad Born-Infeld inspirada en Eddington". Física C china . 43 (8): 083107. arXiv : 1810.06753 . doi : 10.1088 / 1674-1137 / 43/8/083107 .