En probabilidad geométrica , el problema de los fideos de Buffon es una variación del conocido problema de la aguja de Buffon , que lleva el nombre de Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon que vivió en el siglo XVIII. Este enfoque del problema fue publicado por Joseph-Émile Barbier en 1860. [1]
Aguja de Buffon
Supongamos que existen infinitas líneas paralelas igualmente espaciadas, y tuviéramos que lanzar al azar una aguja cuya longitud es menor o igual que la distancia entre líneas adyacentes. ¿Cuál es la probabilidad de que la aguja atraviese una línea al aterrizar?
Para resolver este problema, dejemos ser la longitud de la aguja y ser la distancia entre dos líneas adyacentes. Entonces, deja sea el ángulo agudo que forma la aguja con la horizontal, y deje sea la distancia desde el centro de la aguja hasta la línea más cercana.
La aguja atraviesa la línea más cercana si y solo si . Vemos esta condición desde el triángulo rectángulo formado por la aguja, la línea más cercana y la línea de longitud cuando la aguja cruza la línea más cercana.
Ahora, asumimos que los valores de se determinan al azar cuando aterrizan, donde, desde , y . El espacio muestral para es, por tanto, un rectángulo de longitudes laterales y .
La probabilidad del evento de que la aguja se encuentre a través de la línea más cercana es la fracción del espacio muestral que se cruza con. Desde, el área de esta intersección viene dada por
.
Ahora, el área del espacio muestral es
.
Por tanto, la probabilidad del evento es
. [2]
Doblar la aguja
Lo interesante de la fórmula es que permanece igual incluso cuando dobla la aguja de la forma que desee (sujeto a la restricción de que debe estar en un plano), lo que la convierte en un "fideo", una curva plana rígida . Descartamos la suposición de que la longitud del fideo no es mayor que la distancia entre las líneas paralelas.
La distribución de probabilidad del número de cruces depende de la forma del fideo, pero el número esperado de cruces no lo hace; depende solo de la longitud L del fideo y la distancia D entre las líneas paralelas (observe que un fideo curvo puede cruzar una sola línea varias veces).
Este hecho puede probarse de la siguiente manera (ver Klain y Rota). Primero suponga que el fideo es lineal por partes , es decir, consta de n piezas rectas. Sea X i el número de veces que la i- ésima pieza cruza una de las líneas paralelas. Estas variables aleatorias no son independientes , pero las expectativas siguen siendo aditivas debido a la linealidad de la expectativa :
Con respecto a un fideo curvo como el límite de una secuencia de fideos lineales por partes, concluimos que el número esperado de cruces por lanzamiento es proporcional a la longitud; es algunas veces constantes la longitud L . Entonces el problema es encontrar la constante. En caso de que el fideo es un círculo de diámetro igual a la distancia D entre las líneas paralelas, entonces L = π D y el número de cruces es exactamente 2, con probabilidad 1. Entonces cuando L = π D entonces el número esperado de cruces es 2. Por lo tanto, el número esperado de cruces debe ser 2 L / (π D ).
Hay una consecuencia más sorprendente. En caso de que el fideo sea una curva cerrada de ancho constante D, el número de cruces también es exactamente 2. Esto implica el teorema de Barbier que afirma que el perímetro es el mismo que el de un círculo.
Referencias
- ^ Barbier, E. (1860), "Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du joint couvert" (PDF) , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 2 e série (en francés), 5 : 273-286
- ^ Charles M. Grinstead; J. Laurie Snell, "Capítulo 2. Densidades de probabilidad continua", Introducción a la probabilidad (PDF) , American Mathematical Society , págs. 44–46, ISBN 978-0-821-80749-1
- Ramaley, JF (1969). "Problema de los fideos de Buffon" (PDF) . The American Mathematical Monthly . Asociación Matemática de América. 76 (8, octubre de 1969): 916–918. doi : 10.2307 / 2317945 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2317945 .
- Daniel A. Klain; Gian-Carlo Rota (1997). Introducción a la probabilidad geométrica . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 1 . ISBN 978-0-521-59654-1.