En topología algebraica , una rama de las matemáticas , el cálculo de functores o cálculo de Goodwillie es una técnica para estudiar functores aproximándolos mediante una secuencia de functores más simples; generaliza la gavilla de una pregada . Esta secuencia de aproximaciones es formalmente similar a la serie de Taylor de una función suave , de ahí el término " cálculo de functores".
Muchos objetos de interés central en la topología algebraica pueden verse como functores, que son difíciles de analizar directamente, por lo que la idea es reemplazarlos por functores más simples que sean aproximaciones suficientemente buenas para ciertos propósitos. El cálculo de functores fue desarrollado por Thomas Goodwillie en una serie de tres artículos en las décadas de 1990 y 2000, [1] [2] [3] y desde entonces se ha expandido y aplicado en varias áreas.
Ejemplos de
Un ejemplo motivacional, de interés central en la topología geométrica , es el functor de incrustaciones de una variedad M en otra variedad N, cuya primera derivada en el sentido del cálculo de functores es el functor de inmersiones . Como cada incrustación es una inmersión, se obtiene una inclusión de functores - en este caso el mapa de un functor a una aproximación es una inclusión, pero en general es simplemente un mapa.
Como ilustra este ejemplo, la aproximación lineal de un funtor (en un espacio topológico) es su gavilla , pensando en el funtor como una gavilla previa en el espacio (formalmente, como un funtor en la categoría de subconjuntos abiertos del espacio), y gavillas son los functores lineales.
Este ejemplo fue estudiado por Goodwillie y Michael Weiss . [4] [5]
Definición
Aquí hay una analogía: con el método de la serie de Taylor a partir del cálculo, puede aproximar la forma de una función suave f alrededor de un punto x utilizando una secuencia de funciones polinomiales cada vez más precisas. De manera similar, con el método de cálculo de functores, puede aproximar el comportamiento de cierto tipo de funtor F en un objeto particular X usando una secuencia de functores polinomiales cada vez más precisos .
Para ser específico, sea M una variedad suave y sea O (M) la categoría de subespacios abiertos de M , es decir, la categoría donde los objetos son los subespacios abiertos de M , y los morfismos son mapas de inclusión . Sea F un funtor contravariante de la categoría O (M) a la categoría Top de espacios topológicos con morfismos continuos. Este tipo de funtor, denominada Top -valued prehaz en M , es el tipo de funtor se puede aproximar mediante el cálculo del método de funtores: para un conjunto abierto en particular X∈O (M) , es posible que desee saber qué clase de El espacio topológico F (X) es, por lo que puede estudiar la topología de las aproximaciones cada vez más precisas F 0 (X), F 1 (X), F 2 (X), etc.
En el método de cálculo de functores, la secuencia de aproximaciones consta de (1) functores , etc., así como (2) transformaciones naturales para cada entero k . Estas transformaciones naturales deben ser compatibles, lo que significa que la composición es igual al mapa y así formar una torre
y se puede considerar como "aproximaciones sucesivas", al igual que en una serie de Taylor se pueden descartar progresivamente términos de orden superior.
Se requiere que los functores aproximados sean " k - escisivos "; dichos functores se denominan functores polinomialespor analogía con los polinomios de Taylor , que es una condición simplificadora, y aproximadamente significa que están determinados por su comportamiento alrededor de k puntos a la vez, o más formalmente son poleas en el espacio de configuración de k puntos en el espacio dado. La diferencia entre el k ésimo y elst functors es un "functor homogéneo de grado k " (por analogía con polinomios homogéneos ), que se puede clasificar.
Para los functors para ser aproximaciones al functor original F, la aproximación resultante se asignadebe estar conectado en n para algún número n, lo que significa que el funtor de aproximación se aproxima al funtor original "en dimensión hasta n "; esto puede no ocurrir. Además, si se desea reconstruir el funtor original, las aproximaciones resultantes deben ser n comunicado con los de n aumentar hasta el infinito. Entonces se llama a F un funtor analítico , y dice que "la torre de Taylor converge al funtor", en analogía con la serie de Taylor de una función analítica.
Sucursales
Hay tres ramas del cálculo de functores, desarrolladas en el orden:
- cálculo múltiple, como incrustaciones,
- cálculo de homotopía, y
- cálculo ortogonal.
El cálculo de homotopía ha tenido una aplicación mucho más amplia que las otras ramas. [ cita requerida ]
Historia
La noción de gavilla y la gavillada de una gavilla se remontan a la teoría de categorías temprana, y puede verse como la forma lineal del cálculo de functores. La forma cuadrática se puede ver en el trabajo de André Haefliger sobre enlaces de esferas en 1965, donde definió un "rango metaestable" en el que el problema es más simple. [6] Esto se identificó como la aproximación cuadrática al functor de incrustaciones en Goodwillie y Weiss.
Referencias
- ^ T. Goodwillie, Cálculo I: La primera derivada de la teoría de la pseudoisotopía, K-teoría 4 (1990), 1-27.
- ^ T. Goodwillie, Cálculo II: Functores analíticos, teoría K 5 (1992), 295-332.
- ^ T. Goodwillie, Cálculo III: Serie de Taylor, Geom. Topol. 7 (2003), 645-711.
- ^ M. Weiss, Embeddings desde el punto de vista de la teoría de la inmersión, Parte I, Geometría y topología 3 (1999), 67-101.
- ^ T. Goodwillie y M. Weiss, Embeddings desde el punto de vista de la teoría de la inmersión, Parte II, Geometría y topología 3 (1999), 103-118.
- ^ Haefliger, André , Enlacements de sphères en codimension supérieure à 2
- Munson, Brian (2005), Programa de estudios de matemáticas 283: Cálculo de funciones (PDF)