Producto directo de grupos
En matemáticas , específicamente en la teoría de grupos , el producto directo es una operación que toma dos grupos G y H y construye un nuevo grupo , generalmente denotado G × H. Esta operación es el análogo teórico de grupos del producto cartesiano de conjuntos y es una de varias nociones importantes de producto directo en matemáticas.
En el contexto de los grupos abelianos , el producto directo a veces se denomina suma directa y se denota . Las sumas directas juegan un papel importante en la clasificación de los grupos abelianos: según el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos , todo grupo abeliano finito puede expresarse como la suma directa de grupos cíclicos .
Dados los grupos G (con operación * ) y H (con operación ∆ ), el producto directo G × H se define de la siguiente manera:
Ambos son de hecho subgrupos de P , siendo el primero isomorfo a G , y el segundo isomorfo a H . Si los identificamos con G y H , respectivamente, entonces podemos pensar que el producto directo P contiene los grupos originales G y H como subgrupos.
Estos subgrupos de P tienen las siguientes tres propiedades importantes: (Diciendo nuevamente que identificamos G ′ y H ′ con G y H , respectivamente).
Juntas, estas tres propiedades determinan completamente la estructura algebraica del producto directo P . Es decir, si P es cualquier grupo que tenga subgrupos G y H que satisfagan las propiedades anteriores, entonces P es necesariamente isomorfo al producto directo de G y H. En esta situación, a veces se hace referencia a P como el producto directo interno de sus subgrupos G y H.