grupo cíclico
En la teoría de grupos , una rama del álgebra abstracta , un grupo cíclico o grupo monógeno es un grupo que es generado por un solo elemento. [1] Es decir, es un conjunto de elementos invertibles con una sola operación binaria asociativa , y contiene un elemento g tal que cualquier otro elemento del grupo puede obtenerse aplicando repetidamente la operación de grupo a go su inversa. Cada elemento se puede escribir como una potencia de g en notación multiplicativa, o como un múltiplo de gen notación aditiva. Este elemento g se llama generador del grupo. [1]
Todo grupo cíclico infinito es isomorfo al grupo aditivo de Z , los números enteros . Todo grupo cíclico finito de orden n es isomorfo al grupo aditivo de Z / n Z , los enteros módulo n . Cada grupo cíclico es un grupo abeliano (lo que significa que su operación de grupo es conmutativa ), y cada grupo abeliano generado finitamente es un producto directo de grupos cíclicos.
Todo grupo cíclico de orden primo es un grupo simple , que no se puede descomponer en grupos más pequeños. En la clasificación de grupos simples finitos , una de las tres clases infinitas consiste en los grupos cíclicos de primer orden. Los grupos cíclicos de primer orden se encuentran, por lo tanto, entre los bloques de construcción a partir de los cuales se pueden construir todos los grupos.
Para cualquier elemento g en cualquier grupo G , se puede formar un subgrupo de todas las potencias enteras ⟨ g ⟩ = { g k | k ∈ Z }, llamado subgrupo cíclico de g . El orden de g es el número de elementos en ⟨ g ⟩; es decir, el orden de un elemento es igual al orden de su subgrupo cíclico.
Un grupo cíclico es un grupo que es igual a uno de sus subgrupos cíclicos: G = ⟨ g ⟩ para algún elemento g , llamado generador .
Para un grupo cíclico finito G de orden n tenemos G = { e , g , g 2 , ... , g n −1 }, donde e es el elemento identidad y g i = g j siempre que i ≡ j ( mod n ); en particular g n = g 0 = e , y g −1 = g n −1. Un grupo abstracto definido por esta multiplicación a menudo se denota C n , y decimos que G es isomorfo al grupo cíclico estándar C n . Tal grupo también es isomorfo a Z / n Z , el grupo de números enteros módulo n con la operación de suma, que es el grupo cíclico estándar en notación aditiva. Bajo el isomorfismo χ definido por χ ( g i ) = i el elemento identidad e corresponde a 0, los productos corresponden a sumas y las potencias corresponden a múltiplos.
