En matemáticas , la exponencial de Carlitz es una característica p análoga a la función exponencial habitual estudiada en análisis real y complejo . Se utiliza en la definición del módulo Carlitz , un ejemplo de módulo Drinfeld .
Definición
Trabajamos sobre el anillo polinomial F q [ T ] de una variable sobre un campo finito F q con q elementos. La terminación C ∞ de un cierre algebraica del campo F q (( T -1 )) de serie formal de Laurent en T -1 será útil. Es un campo completo y algebraicamente cerrado.
Primero necesitamos análogos a los factoriales , que aparecen en la definición de la función exponencial habitual. Para i > 0 definimos
y D 0 : = 1. Tenga en cuenta que el factorial habitual es inapropiado aquí, ya que n ! desaparece en F q [ T ] a menos que n sea menor que la característica de F q [ T ].
Usando esto, definimos la exponencial de Carlitz e C : C ∞ → C ∞ por la suma convergente
Relación con el módulo Carlitz
El exponencial de Carlitz satisface la ecuación funcional
donde podemos ver como el poder de mapa o como un elemento del anillo de polinomios no conmutativos . Por la propiedad universal de los anillos polinomiales en una variable esto se extiende a un homomorfismo de anillo ψ : F q [ T ] → C ∞ { τ }, definiendo un módulo Drinfeld F q [ T ] sobre C ∞ { τ }. Se llama módulo Carlitz.
Referencias
- Goss, D. (1996). Estructuras básicas de la aritmética de campos funcionales . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas (3)]. 35 . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-61087-8. Señor 1423131 .
- Thakur, Dinesh S. (2004). Aritmética de campos de función . Nueva Jersey: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-238-839-1. Señor 2091265 .