producto interior

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En matemáticas , el producto interior (también conocido como derivada interior , multiplicación interior , multiplicación interior , derivada interior , operador de inserción o derivación interior ) es una (anti)derivación de grado −1 en el álgebra exterior de formas diferenciales en una variedad suave . El producto interior, denominado en oposición al producto exterior , no debe confundirse con un producto interior . El producto interior a veces se escribe como${\ estilo de visualización \ iota _ {X} \ omega}$${\displaystyle X\mathbin {\lrcorner} \omega .}$^[1]

El producto interior se define como la contracción de una forma diferencial con un campo vectorial . Entonces, si es un campo vectorial en la variedad , entonces ${\ estilo de visualización X}$ ${\ estilo de visualización M,}$

El producto interior es la antiderivación única de grado −1 en el álgebra exterior tal que en las formas uno${\ estilo de visualización \ alfa}$

El producto interior relaciona la derivada exterior y la derivada de Lie de formas diferenciales mediante la fórmula de Cartan (también conocida como identidad de Cartan, fórmula de homotopía de Cartan ^[2] o fórmula mágica de Cartan ) :

Esta identidad define una dualidad entre los derivados exterior e interior. La identidad de Cartan es importante en geometría simpléctica y relatividad general : ver mapa de momentos . ^[3] La fórmula de homotopía de Cartan lleva el nombre de Élie Cartan . ^[4]

El producto interior con respecto al conmutador de dos campos vectoriales satisface la identidad${\ estilo de visualización X,}$ ${\ estilo de visualización Y}$

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