En matemáticas , específicamente en geometría simpléctica , el mapa de momento (o mapa de momento [1] ) es una herramienta asociada con una acción hamiltoniana de un grupo de Lie sobre una variedad simpléctica , usada para construir cantidades conservadas para la acción. El mapa impulso generaliza las nociones clásicas de lineales y angulares impulso . Es un ingrediente esencial en varias construcciones de variedades simplécticas, incluidos los cocientes simplécticos ( Marsden-Weinstein ) , que se analizan a continuación, y cortes simplécticos.y sumas .
Definicion formal
Sea M una variedad con forma simpléctica ω. Supongamos que un grupo de Lie G actúa sobre M a través de simplectomorfismos (es decir, la acción de cada g en G conserva ω). Dejarser el álgebra de Lie de G ,es dual , y
el emparejamiento entre los dos. Cualquiera ξ eninduce un campo vectorial ρ (ξ) en M que describe la acción infinitesimal de ξ. Para ser precisos, en un punto x en M el vector es
dónde es el mapa exponencial ydenota el G -action en M . [2] Dejadenotar la contracción de este campo vectorial con ω. Dado que G actúa por simplectomorfismos, se sigue queestá cerrado (para todos ξ en).
Suponer que no solo está cerrado, sino también exacto, de modo que para alguna función . Supongamos también que el mapa enviando es un homomorfismo del álgebra de Lie. Entonces, un mapa de impulso para la acción G en ( M , ω) es un mapa tal que
para todos ξ en . Aquíes la función de M a R definida por. El mapa de impulso se define de forma única hasta una constante aditiva de integración.
A menudo también se requiere que un mapa de impulso sea G -equariante, donde G actúa sobrea través de la acción coadjunta . Si el grupo es compacto o semisimple, entonces siempre se puede elegir la constante de integración para hacer que el mapa de momento coadjunta sea equivariante. Sin embargo, en general, la acción coadjunta debe modificarse para hacer que el mapa sea equivariante (este es el caso, por ejemplo, del grupo euclidiano ). La modificación se realiza mediante un ciclo de 1 en el grupo con valores en, como lo describió por primera vez Souriau (1970).
Acciones del grupo hamiltoniano
La definición del mapa de impulso requiere estar cerrado . En la práctica, es útil hacer una suposición aún más sólida. Se dice que la acción G es hamiltoniana si y solo si se cumplen las siguientes condiciones. Primero, por cada ξ en el de una forma es exacta, lo que significa que es igual a para una función suave
Si esto se mantiene, entonces uno puede elegir el para hacer el mapa lineal. El segundo requisito para que la acción G sea hamiltoniana es que el mapa ser un homomorfismo de álgebra de mentira de al álgebra de funciones suaves en M bajo el corchete de Poisson .
Si la acción de G sobre ( M , ω) es hamiltoniana en este sentido, entonces un mapa de impulso es un mapa tal que escribiendo define un homomorfismo de álgebra de Lie satisfactorio . Aquí es el campo vectorial del hamiltoniano , definido por
Ejemplos de mapas de impulso
En el caso de una acción hamiltoniana del círculo , el álgebra de Lie dual se identifica naturalmente con , y el mapa de impulso es simplemente la función hamiltoniana que genera la acción del círculo.
Otro caso clásico ocurre cuando es el paquete cotangente de y es el grupo euclidiano generado por rotaciones y traslaciones. Es decir,es un grupo de seis dimensiones, el producto semidirecto de y . Los seis componentes del mapa de momentos son los tres momentos angulares y los tres momentos lineales.
Dejar sé un colector suave y deja ser su paquete cotangente, con mapa de proyección . Dejardenotar la forma 1 tautológica en. Suponer actúa sobre . La acción inducida de en la variedad simpléctica , dada por por es hamiltoniano con mapa de impulso para todos . Aquídenota la contracción del campo vectorial, la acción infinitesimal de , con la forma 1 .
Los hechos que se mencionan a continuación pueden usarse para generar más ejemplos de mapas de impulso.
Algunos datos sobre los mapas de impulso
Dejar ser grupos de Lie con álgebras de Lie , respectivamente.
1. Deja ser una órbita coadjunta . Entonces existe una estructura simpléctica única en tal que mapa de inclusión es un mapa de impulso.
2. Deje actuar sobre una variedad simpléctica con un mapa de impulso para la acción, y ser un homomorfismo de grupo de mentira, induciendo una acción de en . Entonces la accin de en también es hamiltoniano, con un mapa de impulso dado por , dónde es el mapa dual para ( denota el elemento de identidad de ). Un caso de especial interés es cuando es un subgrupo de Lie de y es el mapa de inclusión.
3. Deje ser un hamiltoniano -manifold y un hamiltoniano -colector. Entonces la accin natural de en es hamiltoniano, con mapa de impulso la suma directa de los dos mapas de impulso y . Aquí, dónde denota el mapa de proyección.
4. Deje ser un hamiltoniano -manifold, y una subvariedad de invariante bajo tal que la restricción de la forma simpléctica en a es no degenerado. Esto imparte una estructura simpléctica ade forma natural. Entonces la accin de en también es hamiltoniano, con un mapa de impulso la composición del mapa de inclusión con mapa de impulso.
Cocientes simplécticos
Suponga que la acción de un grupo de Lie compacto G sobre la variedad simpléctica ( M , ω) es hamiltoniana, como se definió anteriormente, con mapa de momento. De la condición hamiltoniana se sigue quees invariante bajo G .
Suponga ahora que 0 es un valor regular de μ y que G actúa libre y correctamente en. Por lo tantoy su cociente son ambas variedades. El cociente hereda una forma simpléctica de M ; es decir, hay una forma simpléctica única en el cociente cuyo retroceso a es igual a la restricción de ω a . Por lo tanto, el cociente es una variedad simpléctica, llamada cociente de Marsden-Weinstein , cociente simpléctico o reducción simpléctica de M por G y se denota. Su dimensión es igual a la dimensión de M menos dos veces la dimensión de G .
Conexiones planas en una superficie
El espacio de conexiones en el paquete trivial sobre una superficie lleva una forma simpléctica de dimensión infinita
El grupo de medidores actúa sobre las conexiones por conjugación . Identificara través del emparejamiento de integración. Entonces el mapa
que envía una conexión a su curvatura es un mapa de momento para la acción del grupo de medidores en las conexiones. En particular, el espacio de módulos de conexiones planas equivalencia de calibre módulo viene dada por reducción simpléctica.
Ver también
Notas
- ^ Mapa de momento es un nombre inapropiado y físicamente incorrecto. Es una traducción errónea del momento de aplicación de la noción francesa. Consulte esta pregunta de mathoverflow para conocer el historial del nombre.
- ^ El campo vectorial ρ (ξ) se denomina a veces el campo vectorial Killing relativo a la acción del subgrupo de un parámetro generado por ξ. Ver, por ejemplo, ( Choquet-Bruhat & DeWitt-Morette 1977 )
Referencias
- J.-M. Souriau, Structure des systèmes dynamiques , Maîtrises de mathématiques, Dunod, París, 1970. ISSN 0750-2435 .
- SK Donaldson y PB Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds , Oxford Science Publications, 1990. ISBN 0-19-850269-9 .
- Dusa McDuff y Dietmar Salamon, Introducción a la topología simpléctica , Publicaciones científicas de Oxford, 1998. ISBN 0-19-850451-9 .
- Choquet-Bruhat, Yvonne ; DeWitt-Morette, Cécile (1977), Análisis, colectores y física , Amsterdam: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4
- Ortega, Juan-Pablo; Ratiu, Tudor S. (2004). Mapas de momento y reducción hamiltoniana . Progreso en Matemáticas. 222 . Birkhauser Boston. ISBN 0-8176-4307-9.
- Audin, Michèle (2004), Acciones de Torus sobre variedades simplécticas , Progreso en matemáticas, 93 (Segunda edición revisada), Birkhäuser, ISBN 3-7643-2176-8
- Guillemin, Victor ; Sternberg, Shlomo (1990), Técnicas simplécticas en física (Segunda ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-38990-9
- Woodward, Chris (2010), Mapas de momentos y teoría del invariante geométrico , Les cours du CIRM, 1 , EUDML, págs. 55–98, arXiv : 0912.1132 , Bibcode : 2009arXiv0912.1132W
- Bruguières, Alain (1987), "Propriétés de convexité de l'application moment" (PDF) , Astérisque , Séminaire Bourbaki, 145-146: 63-87