criterio de cartan
En matemáticas , el criterio de Cartan da condiciones para que un álgebra de Lie en la característica 0 sea solucionable , lo que implica un criterio relacionado para que el álgebra de Lie sea semisimple . Se basa en la noción de la forma Killing , una forma bilineal simétrica definida por la fórmula
donde tr denota la traza de un operador lineal . El criterio fue introducido por Élie Cartan ( 1894 ). [1]
El hecho de que en el caso solucionable se deduce del teorema de Lie que pone la forma triangular superior sobre el cierre algebraico del campo de tierra (la traza se puede calcular después de extender el campo de tierra). Lo contrario se puede deducir del criterio de nilpotencia basado en la descomposición de Jordan-Chevalley (para la demostración, siga el enlace).
Jean Dieudonné ( 1953 ) dio una prueba muy breve de que si un álgebra de Lie de dimensión finita (en cualquier característica) tiene una forma bilineal invariante no degenerada y ningún ideal abeliano distinto de cero, y en particular si su forma Killing no es degenerada , entonces es una suma de álgebras de Lie simples.
Por el contrario, del criterio de resolución de Cartan se sigue fácilmente que un álgebra semisimple (en característica 0) tiene una forma Killing no degenerada.
Los criterios de Cartan fallan en característica ; por ejemplo:
