En matemáticas , la forma Killing , llamada así por Wilhelm Killing , es una forma bilineal simétrica que juega un papel básico en las teorías de los grupos de Lie y las álgebras de Lie . Los criterios de Cartan (criterio de solvabilidad y criterio de semisimplicidad) muestran que la forma de Killing tiene una estrecha relación con la semisimplicidad de las álgebras de mentiras. [1]
Historia y nombre
La forma Killing fue introducida esencialmente en la teoría del álgebra de Lie por Élie Cartan ( 1894 ) en su tesis. El nombre "Forma de matar" apareció por primera vez en un artículo de Armand Borel en 1951, pero declaró en 2001 que no recuerda por qué lo eligió. Borel admite que el nombre parece ser un nombre inapropiado y que sería más correcto llamarlo "forma Cartan" . [2] Wilhelm Killing había notado que los coeficientes de la ecuación característica de un elemento semisimple regular de un álgebra de Lie es invariante bajo el grupo adjunto, de lo cual se sigue que la forma de Killing (es decir, el coeficiente de grado 2) es invariante, pero él no hizo mucho uso de este hecho. Un resultado básico del que Cartan hizo uso fue el criterio de Cartan , que establece que la forma Killing no es degenerada si y solo si el álgebra de Lie es una suma directa de álgebras de Lie simples . [2]
Definición
Considere un álgebra de mentira sobre un campo K . Cada elemento x dedefine el endomorfismo adjunto ad ( x ) (también escrito como ad x ) de con la ayuda del soporte de Lie, como
Ahora, suponiendo es de dimensión finita, el rastro de la composición de dos de tales endomorfismos define una forma bilineal simétrica
con valores en K , la forma Killing en.
Propiedades
Las siguientes propiedades siguen como teoremas de la definición anterior.
- La forma de Killing B es bilineal y simétrica.
- La forma Killing es una forma invariante, al igual que todas las demás formas obtenidas de los operadores de Casimir . La derivación de los operadores de Casimir se desvanece; para la forma Asesinato, esta desaparición se puede escribir como
- donde [,] es el corchete de Lie .
- Si es un álgebra de Lie simple, entonces cualquier forma bilineal simétrica invariante en es un múltiplo escalar de la forma Killing.
- La forma Killing también es invariante bajo automorfismos s de la álgebra, es decir,
- por s en .
- El criterio de Cartan establece que un álgebra de Lie es semisimple si y solo si la forma Killing no es degenerada .
- La forma de matar de un álgebra de mentira nilpotente es idénticamente cero.
- Si I , J son dos ideales en un álgebra de Liecon intersección cero, entonces I y J son subespacios ortogonales con respecto a la forma Killing.
- El complemento ortogonal con respecto a B de un ideal es nuevamente un ideal. [3]
- Si un álgebra de mentira dada es una suma directa de sus ideales I 1 , ..., I n , entonces la forma Killing de es la suma directa de las formas Killing de los sumandos individuales.
Elementos de la matriz
Dada una base e i del álgebra de Lie, los elementos de la matriz de la forma Killing están dados por
Aquí
en notación sumatoria de Einstein , donde c ij k son los coeficientes de estructura del álgebra de Lie. El índice k funciona como índice de columna y el índice n como índice de fila en la matriz ad ( e i ) ad ( e j ) . Tomar la traza equivale a poner k = ny sumar, por lo que podemos escribir
La forma de Killing es el 2- tensor más simple que se puede formar a partir de las constantes de estructura. La forma en sí es entonces
En la definición indexada anterior, tenemos cuidado de distinguir los índices superior e inferior (índices covariantes y contravariantes ). Esto se debe a que, en muchos casos, la forma de Killing se puede utilizar como un tensor métrico en una variedad, en cuyo caso la distinción se vuelve importante para las propiedades de transformación de los tensores. Cuando el álgebra de Lie es semisimple sobre un campo de característica cero, su forma Killing no es degenerada y, por lo tanto, puede usarse como un tensor métrico para subir y bajar índices. En este caso, siempre es posible elegir una base parade modo que las constantes de estructura con todos los índices superiores sean completamente antisimétricas .
La forma de matar para algunas álgebras de Lie son (para X , Y en vistos en sus representaciones fundamentales n por n (2n por 2n)):
B ( X , Y ) | |
---|---|
gl ( n , R ) | 2 n tr ( XY ) - 2 tr ( X ) tr ( Y ) |
sl ( n , R ) | 2 n tr ( XY ) |
su ( n ) | 2 n tr ( XY ) |
entonces ( n ) | ( n −2) tr ( XY ) |
entonces ( n , C ) | ( n −2) tr ( XY ) |
sp ( 2n , R ) | (2 n +2) tr ( XY ) |
sp ( 2n , C ) | (2 n +2) tr ( XY ) |
Conexión con formas reales
Suponer que es un álgebra de Lie semisimple sobre el campo de los números reales. Según el criterio de Cartan , la forma Killing no es degenerada y se puede diagonalizar de forma adecuada con las entradas diagonales ± 1 . Según la ley de inercia de Sylvester , el número de entradas positivas es una invariante de la forma bilineal, es decir, no depende de la elección de la base diagonalizante, y se denomina índice del álgebra de Lie.. Este es un número entre 0 y la dimensión deque es un invariante importante del álgebra de Lie real. En particular, un álgebra de mentira realse llama compacto si la forma Killing es definida negativa (o semidefinida negativa si el álgebra de Lie no es semisimple). Tenga en cuenta que esta es una de las dos definiciones desiguales comúnmente utilizadas para la compacidad de un álgebra de Lie; el otro establece que un álgebra de Lie es compacta si corresponde a un grupo de Lie compacto. La definición de compacidad en términos de definición negativa de la forma Killing es más restrictiva, ya que usando esta definición se puede demostrar que bajo la correspondencia de Lie , las álgebras de Lie compactas corresponden a grupos de Lie compactos .
Si es un álgebra de Lie semisimple sobre los números complejos, entonces hay varias álgebras de Lie reales no isomórficas cuya complejidad es, que se llaman sus formas reales . Resulta que cada álgebra de Lie compleja semisimple admite una forma real compacta única (hasta isomorfismo). Las formas reales de un álgebra de Lie semisimple compleja dada son frecuentemente etiquetadas por el índice positivo de inercia de su forma Killing.
Por ejemplo, el álgebra lineal especial compleja tiene dos formas reales, el álgebra lineal especial real, denotado , y el álgebra unitaria especial , denotado. La primera es no compacta, la llamada forma real dividida , y su forma Killing tiene firma (2, 1) . El segundo es la forma real compacta y su forma Killing es definida negativa, es decir, tiene firma (0, 3) . Los grupos de Lie correspondientes son el grupo no compactode matrices reales 2 × 2 con el determinante unitario y el grupo unitario especial, que es compacto.
Ver también
- Invariante de Casimir
- Campo de vector de matanza
Citas
- ^ Kirillov , 2008 , p. 102.
- ↑ a b Borel, p.5
- ^ Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor 1153249 . OCLC 246650103 . Consulte la página 207.
Referencias
- Borel, Armand (2001), Ensayos sobre la historia de los grupos de Lie y los grupos algebraicos , Historia de las matemáticas, 21 , American Mathematical Society y London Mathematical Society, ISBN 0821802887
- Bump, Daniel (2004), grupos de mentiras , textos de posgrado en matemáticas, 225 , Springer, doi : 10.1007 / 978-1-4614-8024-2 , ISBN 978-0-387-21154-1
- Cartan, Élie (1894), Sur la structure des groupes de transformations finis et continus , Thesis, Nony
- Fuchs, Jurgen (1992), Álgebras de mentiras afines y grupos cuánticos , Cambridge University Press , ISBN 0-521-48412-X
- Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor 1153249 . OCLC 246650103 .
- "Forma de matar" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Kirillov, Alexander Jr. (2008), Introducción a los grupos de Lie y álgebras de Lie , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 113 , Cambridge University Press , CiteSeerX 10.1.1.173.1452 , doi : 10.1017 / CBO9780511755156 , ISBN 978-0-521-88969-8, MR 2440737