Álgebra de mentira cuadrática

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Un álgebra de Lie cuadrática es un álgebra de Lie junto con una forma bilineal simétrica compatible. Compatibilidad significa que es invariante bajo la representación adjunta . Ejemplos de esto son álgebras de Lie semisimples , como su(n) y sl(n, R ) .

Un álgebra de Lie cuadrática es un álgebra de Lie ( g ,[.,.]) junto con una forma bilineal simétrica no degenerada que es invariante bajo la acción adjunta, es decir${\displaystyle (.,.)\dos puntos {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} }$

donde X,Y,Z son elementos del álgebra de Lie g . Una localización/generalización es el concepto del algebroide de Courant donde el espacio vectorial g se reemplaza por (secciones de) un paquete vectorial .

Como ejemplo más elaborado, considere so(3) , es decir, R ³ con base X,Y,Z , producto interno estándar y corchete de mentira

El cálculo directo muestra que el producto interno se conserva. Una generalización es la siguiente.

Un gran grupo de ejemplos encaja en la categoría de álgebras de Lie semisimples, es decir, álgebras de Lie cuya representación adjunta es fiel. Los ejemplos son sl(n,R) y su(n) , así como sumas directas de ellos. Sea g un álgebra de Lie semisimple con representación adjunta ad , es decir

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