Retroceso (teoría de categorías)
En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un retroceso (también llamado un producto de fibra , producto de fibra , productos fibrosos o cuadrado cartesiano ) es el límite de un diagrama que consta de dos morfismos f : X → Z y g : Y → Z con una codominio común. El retroceso a menudo se escribe
y viene equipado con dos morfismos naturales P → X y P → Y . El retroceso de dos morfismos f y g necesidad no existe, pero si lo hace, es esencialmente define únicamente por las dos morfismos. En muchas situaciones, se puede pensar intuitivamente que X × Z Y consta de pares de elementos ( x , y ) con x en X , y en Y , y f ( x ) = g ( y ). Para la definición general, se usa una propiedad universal , que esencialmente expresa el hecho de que el retroceso es la forma "más general" de completar los dos morfismos dados en un cuadrado conmutativo .
Explícitamente, un retroceso de los morfismos f y g se compone de un objeto P y dos morfismos p 1 : P → X y p 2 : P → Y para que el diagrama
conmuta . Además, el retroceso ( P , p 1 , p 2 ) debe ser universal con respecto a este diagrama. [1] Es decir, para cualquier otro triple ( Q , q 1 , q 2 ) donde q 1 : Q → X y q 2 : Q → Y son morfismos con f q 1 = g q 2 , debe existir un únicou : Q → P tal que
Como ocurre con todas las construcciones universales, un retroceso, si existe, es único hasta el isomorfismo . De hecho, dados dos pullbacks ( A , a 1 , a 2 ) y ( B , b 1 , b 2 ) del mismo cospan X → Z ← Y , existe un isomorfismo único entre A y B respetando la estructura de pullback.
El retroceso es similar al producto , pero no el mismo. Uno puede obtener el producto por "olvidar" que los morfismos f y g existir, y olvidando que el objeto Z existe. Entonces uno se queda con una categoría discreta que contiene solo los dos objetos X e Y , y sin flechas entre ellos. Esta categoría discreta se puede utilizar como el conjunto de índices para construir el producto binario ordinario. Por lo tanto, el retroceso se puede considerar como el producto ordinario (cartesiano), pero con una estructura adicional. En lugar de "olvidar" Z , f y g , también se pueden "trivializar" especializando Zpara ser el objeto terminal (asumiendo que existe). f y g son entonces determinados únicamente y por lo tanto no llevan ninguna información, y la retirada de este cospan pueden ser vistos a ser el producto de X y Y .
