En geometría algebraica , la regularidad de Castelnuovo-Mumford de un haz coherente F sobre el espacio proyectivo P n es el entero más pequeño r tal que es r-regular , lo que significa que
siempre que i > 0. La regularidad de un subesquema se define como la regularidad de su haz de ideales. La regularidad controla cuándo la función de Hilbert de la gavilla se convierte en polinomio; más precisamente dim H 0 ( P n , F ( m )) es un polinomio en m cuando m es al menos la regularidad. El concepto de r -regularidad fue introducido por Mumford ( 1966 , conferencia 14), quien atribuyó los siguientes resultados a Guido Castelnuovo ( 1893 ):
- Una gavilla r -regular es s -regular para cualquier s ≥ r .
- Si una gavilla coherente es r -regular, entonces F ( r ) es generado por sus secciones globales .
Módulos graduados
Existe una idea relacionada en el álgebra conmutativa . Supongamos que R = k [ x 0 , ..., x n ] es un anillo de polinomios sobre un campo k y M es un finitamente generado graduada R -módulo . Supongamos que M tiene una resolución libre graduada mínima
y sea b j el máximo de los grados de los generadores de F j . Si r es un número entero tal que b j - j ≤ r para todo j , entonces se dice que M es r -regular. La regularidad de M es la más pequeña de tales r .
Estas dos nociones de regularidad coinciden cuando F es un haz coherente tal que Ass ( F ) no contiene puntos cerrados. Entonces el módulo graduado M =d∈ Z H 0 ( P n , F ( d )) se finitamente generado y tiene la misma regularidad que F .
Ver también
Referencias
- Castelnuovo, G. (1893), "Sui multipli di una serie lineare di gruppi di punti appartenente ad una curva algebrica" , Red. Circ. Estera. Palermo , 7 : 89–110, doi : 10.1007 / BF03012436 , JFM 25.1035.02
- Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , 150 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94269-8, MR 1322960
- Eisenbud, David (2005), La geometría de las sicigias , Textos de posgrado en matemáticas, 229 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / b137572 , ISBN 978-0-387-22215-8, MR 2103875
- Mumford, David (1966), Conferencias sobre curvas en una superficie algebraica , Annals of Mathematics Studies, 59 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07993-6, MR 0209285