En matemáticas , un asociaedro K n es un politopo convexo ( n - 2) dimensional en el que cada vértice corresponde a una forma de insertar correctamente los paréntesis de apertura y cierre en una palabra de n letras y los bordes corresponden a una aplicación única de la regla de asociatividad. . De manera equivalente, los vértices de un asociaedro corresponden a las triangulaciones de un polígono regular con n + 1 lados y los bordes corresponden a cambios de borde en los que una sola diagonal se elimina de una triangulación y se reemplaza por una diagonal diferente. Associahedra también se llamanPolitopos de Stasheff según el trabajo de Jim Stasheff , quien los redescubrió a principios de la década de 1960 [1] después de un trabajo anterior de Dov Tamari . [2]
Ejemplos de
El asociaedro unidimensional K 3 representa las dos paréntesis (( xy ) z ) y ( x ( yz )) de tres símbolos, o las dos triangulaciones de un cuadrado. En sí mismo es un segmento de línea.
El asociaedro bidimensional K 4 representa las cinco paréntesis de cuatro símbolos, o las cinco triangulaciones de un pentágono regular. En sí mismo es un pentágono y está relacionado con el diagrama del pentágono de una categoría monoidal .
El asociaedro tridimensional K 5 es un eneaedro topológicamente equivalente a la bipirámide triangular truncada de orden 4 con nueve caras (tres cuadrados y seis pentágonos) y catorce vértices, y su dual es el prisma triangular triaumentado .
Realización
Inicialmente, Jim Stasheff consideró estos objetos como politopos curvilíneos . Posteriormente, se les dieron coordenadas como politopos convexos de varias formas diferentes; ver la introducción de Ceballos, Santos & Ziegler (2015) para una encuesta. [3]
Un método para realizar el asociaedro es como el politopo secundario de un polígono regular. [3] En esta construcción, cada triangulación de un polígono regular con n + 1 lados corresponde a un punto en el espacio euclidiano ( n + 1) -dimensional , cuya i- ésima coordenada es el área total de los triángulos incidentes al i- ésimo vértice del polígono. Por ejemplo, las dos triangulaciones del cuadrado unitario dan lugar de esta manera a dos puntos de cuatro dimensiones con coordenadas (1, 1/2, 1, 1/2) y (1/2, 1, 1/2, 1) . El casco convexo de estos dos puntos es la realización del asociaedro K 3 . Aunque vive en un espacio de 4 dimensiones, forma un segmento de línea (un politopo de 1 dimensión) dentro de ese espacio. De manera similar, el asociaedro K 4 se puede realizar de esta manera como un pentágono regular en el espacio euclidiano de cinco dimensiones, cuyas coordenadas de vértice son las permutaciones cíclicas del vector (1, 2 + φ, 1, 1 + φ, 1 + φ) donde φ denota la proporción áurea . Debido a que los posibles triángulos dentro de un hexágono regular tienen áreas que son múltiplos enteros entre sí, esta construcción puede usarse para dar coordenadas enteras (en seis dimensiones) al asociaedro tridimensional K 5 ; sin embargo (como ya muestra el ejemplo de K 4 ) esta construcción en general conduce a números irracionales como coordenadas.
Otra realización, debido a Jean-Louis Loday , se basa en la correspondencia de los vértices de la associahedron con n -leaf árboles binarios enraizadas , y produce directamente número entero coordenadas de ( n - 2) de espacio -dimensional. La i- ésima coordenada de la realización de Loday es a i b i , donde a i es el número de hojas descendientes del hijo izquierdo del i- ésimo nodo interno del árbol (en orden de izquierda a derecha) y b i es el número de hojas descendientes del hijo derecho. [4]
Es posible realizar el asociaedro directamente en el espacio ( n - 2) -dimensional como un politopo para el cual todos los vectores normales de caras tienen coordenadas que son 0, +1 o −1. Hay exponencialmente muchas formas combinatorias distintas de hacer esto. [3] [5]
Debido a que K 5 es un poliedro solo con vértices en los que se juntan 3 aristas, es posible que exista un hidrocarburo (similar a los hidrocarburos platónicos ) cuya estructura química está representada por el esqueleto de K 5 . [6] Este " asociahedrano " C 14 H 14 tendría la notación SMILES : C12-C3-C4-C1-C5-C6-C2-C7-C3-C8-C4-C5-C6-C78. Sus aristas tendrían aproximadamente la misma longitud, pero los vértices de cada cara no serían necesariamente coplanares.
De hecho, K 5 es un sólido de Johnson casi fallido : parece que podría ser posible hacerlo a partir de cuadrados y pentágonos regulares, pero no lo es. O los vértices no serán del todo coplanares, o las caras tendrán que distorsionarse ligeramente para alejarlas de la regularidad.
Número de k caras
k = 1 2 3 4 5norte1 1 12 1 2 33 1 5 5 114 1 9 21 14 455 1 14 56 84 42 197 |
El número de caras ( n - k ) dimensionales del asociaedro de orden n (K n +1 ) viene dado por el triángulo numérico [7] ( n , k ), que se muestra a la derecha.
El número de vértices en K n +1 es el n -ésimo número catalán (diagonal derecha en el triángulo).
El número de facetas en K n +1 (para n ≥2) es el n -ésimo número triangular menos uno (segunda columna en el triángulo), porque cada faceta corresponde a un 2- subconjunto de los n objetos cuyas agrupaciones forman el Tamari celosía T n , excepto el subconjunto 2 que contiene el primer y último elemento.
El número de caras de todas las dimensiones (incluido el propio asociadoedro como una cara, pero sin incluir el conjunto vacío) es un número de Schröder-Hipparchus (sumas de filas del triángulo). [8]
Diámetro
A finales de la década de 1980, en relación con el problema de la distancia de rotación , Daniel Sleator , Robert Tarjan y William Thurston proporcionaron una prueba de que el diámetro del asociaedro n- dimensional K n + 2 es como máximo 2 n - 4 para infinitos n y para todos los valores "suficientemente grandes" de n . [9] También demostraron que este límite superior es estrecho cuando n es lo suficientemente grande, y conjeturaron que "lo suficientemente grande" significa "estrictamente mayor que 9". Esta conjetura fue probada en 2012 por Lionel Pournin. [10]
Amplitudes de dispersión
En 2017, Mizera [11] y Arkani-Hamed et al. [12] mostró que el asociaedro juega un papel central en la teoría de las amplitudes de dispersión para la teoría escalar cúbica bi-adjunta. En particular, existe un asociaedro en el espacio de la cinemática de dispersión, y la amplitud de dispersión a nivel de árbol es el volumen del asociaedro dual. [12] El asociaedro también ayuda a explicar las relaciones entre las amplitudes de dispersión de cuerdas abiertas y cerradas en la teoría de cuerdas . [11] Véase también Amplituhedron .
Ver también
- Cicloedro , un politopo cuya definición permite que los paréntesis se envuelvan en orden cíclico .
- Flip graph , una generalización del esqueleto 1 del asociaedro.
- Permutoedro , un politopo definido a partir de conmutatividad de manera similar a la definición de asociatividad a partir de asociatividad.
- Celosía de Tamari , una celosía cuyo gráfico es el esqueleto del asociaedro.
Referencias
- ^ Stasheff, James Dillon (1963), " Asociatividad de homotopía de espacios H. I, II", Transacciones de la American Mathematical Society , 108 : 293–312, doi : 10.2307 / 1993609 , MR 0158400. Revisado de un Ph.D. de 1961. tesis, Universidad de Princeton, MR2613327 .
- ^ Tamari, Dov (1951), Monoïdes préordonnés et chaînes de Malcev , Thèse, Université de Paris, MR 0051833.
- ^ a b c Ceballos, Cesar; Santos, Francisco ; Ziegler, Günter M. (2015), "Muchas realizaciones no equivalentes del asociaedro", Combinatorica , 35 (5): 513–551, arXiv : 1109.5544 , doi : 10.1007 / s00493-014-2959-9.
- ^ Loday, Jean-Louis (2004), "Realización del politopo Stasheff", Archiv der Mathematik , 83 (3): 267–278, arXiv : math / 0212126 , doi : 10.1007 / s00013-004-1026-y , MR 2108555.
- ^ Hohlweg, Christophe; Lange, Carsten EMC (2007), "Realizations of the associahedron and cyclohedron", Discrete & Computational Geometry , 37 (4): 517–543, arXiv : math.CO/0510614 , doi : 10.1007 / s00454-007-1319-6 , MR 2321739.
- ^ Documento de IPME sobre mini-fullerenos - página 30 (página 9 en este PDF) se muestra en el capítulo “7. Fullereno de catorce átomos de carbono C 14 ”bajo“ b) Bipirámide triangular truncada de base (Fig. 16) ”unpoliedro K 5
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A033282 (Triángulo leído por filas: T (n, k) es el número de disecciones diagonales de un convexo n-gon en k + 1 regiones.)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ Holtkamp, Ralf (2006), "Sobre las estructuras del álgebra de Hopf sobre operados libres", Advances in Mathematics , 207 (2): 544–565, arXiv : math / 0407074 , doi : 10.1016 / j.aim.2005.12.004 , MR 2271016.
- ^ Sleator, Daniel ; Tarjan, Robert ; Thurston, William (1988), "Distancia de rotación, triangulaciones y geometría hiperbólica", Journal of the American Mathematical Society , 1 (3): 647–681, doi : 10.1090 / S0894-0347-1988-0928904-4 , MR 0928904.
- ^ Pournin, Lionel (2014), "El diámetro de Associahedra", Advances in Mathematics , 259 : 13–42, arXiv : 1207.6296 , doi : 10.1016 / j.aim.2014.02.035 , MR 3197650.
- ^ a b Mizera, Sebastián (2017). "Combinatoria y topología de las relaciones Kawai-Lewellen-Tye". Revista de Física de Altas Energías . 2017 : 97. arXiv : 1706.08527 . doi : 10.1007 / JHEP08 (2017) 097 .
- ^ a b Arkani-Hamed, Nima; Bai, Yuntao; Él, Song; Yan, Gongwang (2018), "Formas de dispersión y geometría positiva de la cinemática, el color y la hoja del mundo", Journal of High Energy Physics , 2018 : 96, arXiv : 1711.09102 , doi : 10.1007 / JHEP05 (2018) 096.
enlaces externos
- Bryan Jacobs. "Associahedron" . MathWorld .
- Asociaciones extrañas - columna AMS sobre Associahedra
- Conferencia de Ziegler sobre el Associahedron . Apuntes de una conferencia de Günter Ziegler en la Universidad Autónoma de Barcelona , 2009.
- Conferencia sobre Associahedra y Cyclohedra . Notas de clase de MSRI.