En matemáticas , una ecuación de Euler-Cauchy , o la ecuación de Cauchy-Euler , o simplemente la ecuación de Euler es una ecuación diferencial ordinaria homogénea lineal con coeficientes variables . A veces se la denomina ecuación equidimensional . Debido a su estructura equidimensional particularmente simple, la ecuación diferencial se puede resolver explícitamente.
Sea y ( n ) ( x ) la n- ésima derivada de la función desconocida y ( x ). Entonces, una ecuación de Cauchy-Euler de orden n tiene la forma
La sustitucion (es decir, ; por, uno podría reemplazar todas las instancias de por , que extiende el dominio de la solución a ) se puede utilizar para reducir esta ecuación a una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. Alternativamente, la solución de pruebase puede utilizar para resolver directamente las soluciones básicas. [1]
Segundo orden: solución a través de una solución de prueba
Curvas solución típicas para una ecuación de Euler-Cauchy de segundo orden para el caso de dos raíces reales
Curvas solución típicas para una ecuación de Euler-Cauchy de segundo orden para el caso de una raíz doble
Curvas solución típicas para una ecuación de Euler-Cauchy de segundo orden para el caso de raíces complejas
La ecuación de Cauchy-Euler más común es la ecuación de segundo orden, que aparece en varias aplicaciones de física e ingeniería, como cuando se resuelve la ecuación de Laplace en coordenadas polares. La ecuación de Cauchy-Euler de segundo orden es [1] [2]
Asumimos una solución de prueba [1]
Diferenciar da
y
Sustituir en la ecuación original lleva a requerir
Reordenando y factorizando da la ecuación indicial
Luego resolvemos para m . Hay tres casos particulares de interés:
- Caso # 1 de dos raíces distintas, m 1 y m 2 ;
- Caso # 2 de una raíz real repetida, m ;
- Caso # 3 de raíces complejas, α ± βi .
En el caso # 1, la solución es
En el caso # 2, la solución es
Para llegar a esta solución, se debe aplicar el método de reducción de orden después de haber encontrado una solución y = x m .
En el caso # 3, la solución es
Para .
Esta forma de la solución se obtiene estableciendo x = e t y usando la fórmula de Euler
Segundo orden: solución mediante cambio de variables
Operamos la sustitución de variables definida por
Diferenciar da
Sustituyendo la ecuación diferencial se convierte en
Esta ecuación en se resuelve mediante su polinomio característico
Ahora deja y denota las dos raíces de este polinomio. Analizamos los dos casos principales: raíces distintas y raíces dobles:
Si las raíces son distintas, la solución general es
- , donde las exponenciales pueden ser complejas.
Si las raíces son iguales, la solución general es
En ambos casos, la solución se puede encontrar configurando .
Por tanto, en el primer caso,
- ,
y en el segundo caso,
Ejemplo
Dado
sustituimos la solución simple x m :
Para que x m sea una solución, x = 0, lo que da la solución trivial , o el coeficiente de x m es cero. Resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos m = 1, 3. Por lo tanto, la solución general es
Existe una ecuación en diferencias análoga a la ecuación de Cauchy-Euler. Para un m fijo > 0, defina la secuencia ƒ m ( n ) como
Aplicar el operador de diferencia a , encontramos eso
Si hacemos esto k veces, encontramos que
donde el superíndice ( k ) denota la aplicación del operador de diferencia k veces. Comparando esto con el hecho de que la k -ésima derivada de x m es igual a
sugiere que podemos resolver la ecuación de diferencia de orden N -ésimo
de manera similar al caso de la ecuación diferencial. De hecho, sustituyendo la solución de prueba
nos lleva a la misma situación que el caso de la ecuación diferencial,
Ahora se puede proceder como en el caso de la ecuación diferencial, ya que la solución general de una ecuación en diferencia lineal de N -ésimo orden es también la combinación lineal de N soluciones linealmente independientes. La aplicación de la reducción de orden en el caso de una raíz múltiple m 1 producirá expresiones que involucran una versión discreta de ln,
(Comparar con: )
En los casos en los que intervienen fracciones, se puede utilizar
en su lugar (o simplemente utilícelo en todos los casos), que coincide con la definición anterior para el entero m .