En el campo matemático de la geometría de Lorentz , una superficie de Cauchy es un cierto tipo de subvariedad de una variedad de Lorentz. En la aplicación de la geometría de Lorentz a la física de la relatividad general , se suele interpretar que una superficie de Cauchy define un "instante de tiempo"; en las matemáticas de la relatividad general, las superficies de Cauchy son importantes en la formulación de las ecuaciones de Einstein como un problema evolutivo.
Llevan el nombre del matemático francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857) debido a su relevancia para el problema de Cauchy de la relatividad general.
Introducción informal
Aunque generalmente se expresa en términos de relatividad general , la noción formal de una superficie de Cauchy puede entenderse en términos familiares. Suponga que los humanos pueden viajar a una velocidad máxima de 20 millas por hora. Esto impone limitaciones, para cualquier persona, sobre dónde puede llegar en un tiempo determinado. Por ejemplo, es imposible que una persona que está en México a las 3 en punto llegue a Libia a las 4 en punto; sin embargo, es posible que una persona que esté en Manhattan a la 1 en punto llegue a Brooklyn a las 2 en punto, ya que las ubicaciones están a diez millas de distancia. Para hablar semiformalmente, ignore las zonas horarias y las dificultades de viaje, y suponga que los viajeros son seres inmortales que han vivido para siempre.
El sistema de todas las formas posibles de completar los cuatro espacios en blanco en
"Una persona en (ubicación 1) a las (hora 1) puede llegar a (ubicación 2) a las (hora 2)"
define la noción de estructura causal . Una superficie de Cauchy para esta estructura causal es una colección de pares de lugares y horas de tal manera que, para cualquier viajero hipotético, hay exactamente un par de ubicación y tiempo en la colección para el cual el viajero estaba en la ubicación indicada en el momento indicado.
Hay una serie de superficies Cauchy poco interesantes. Por ejemplo, una superficie de Cauchy para esta estructura causal se da al considerar el emparejamiento de cada ubicación con la hora de la 1 en punto (en un día específico determinado), ya que cualquier viajero hipotético debe haber estado en una ubicación específica en ese momento; además, ningún viajero puede estar en varias ubicaciones en este momento. Por el contrario, no puede haber ninguna superficie de Cauchy para esta estructura causal que contiene tanto a la pareja (Manhattan, 1 en punto) como (Brooklyn, 2 en punto) ya que hay viajeros hipotéticos que podrían haber estado en Manhattan a la 1 en punto. reloj y Brooklyn a las 2 en punto.
También hay algunas superficies de Cauchy más interesantes que son más difíciles de describir verbalmente. Se podría definir una función τ de la colección de todas las ubicaciones en la colección de todos los tiempos, de modo que el gradiente de τ sea en todas partes menor que 1/20 horas por milla. Luego, otro ejemplo de una superficie de Cauchy lo da la colección de pares
El punto es que, para cualquier viajero hipotético, debe haber algún lugar p en el que se encontraba el viajero, en el momento τ ( p ) ; esto se sigue del teorema del valor intermedio . Por otra parte, es imposible que haya dos lugares p y q , y que hay un cierto viajero que se encuentra en p en el momento τ ( p ) y por lo q en el tiempo τ ( q ) , ya que por el valor medio teorema de que lo harían en algún momento he tenido que viajar a gran velocidaddist ( p , q )/| τ ( p ) - τ ( q ) |, que debe ser mayor que "20 millas por hora" debido a la condición de gradiente en τ: una contradicción.
Las teorías físicas de la relatividad especial y la relatividad general definen estructuras causales que son esquemáticamente del tipo anterior ("un viajero puede o no puede alcanzar un cierto punto del espacio-tiempo desde un cierto otro punto del espacio-tiempo"), con la excepción de que las ubicaciones y los tiempos no son limpiamente separables entre sí. Por tanto, también se puede hablar de superficies de Cauchy para estas estructuras causales.
Definición matemática y propiedades básicas.
Sea ( M , g ) una variedad de Lorentz. Se dice que un mapa c : ( a , b ) → M es una curva temporal diferenciable e inextensible en ( M , g ) si:
- es diferenciable
- c ′ ( t ) es similar a un tiempo para cada t en el intervalo ( a , b )
- c ( t ) no se acerca a un límite cuando t aumenta ab o cuando t disminuye a a . [1]
Un subconjunto S de M se llama superficie de Cauchy si cada curva temporal diferenciable e inextensible en ( M , g ) tiene exactamente un punto de intersección con S ; si existe tal subconjunto, entonces ( M , g ) se llama globalmente hiperbólico .
Lo siguiente es automáticamente cierto para una superficie Cauchy S :
El subconjunto S ⊂ M es topológicamente cerrado y es una subvariedad incrustado continua (e incluso Lipschitz) de M . El flujo de cualquier campo de tipo tiempo vector continua define un homeomorfismo S × ℝ → M . Al considerar la restricción de la inversa a otra superficie de Cauchy, se ve que dos superficies de Cauchy cualesquiera son homeomórficas.
Es difícil decir más sobre la naturaleza de las superficies de Cauchy en general. El ejemplo de
como una superficie de Cauchy para el espacio de Minkowski ℝ 3,1 deja en claro que, incluso para las variedades de Lorentzian "más simples", las superficies de Cauchy pueden no ser diferenciables en todas partes (en este caso, en el origen), y que el homeomorfismo S × ℝ → M puede no ser ni siquiera un difeomorfismo C 1 . Sin embargo, el mismo argumento que para una superficie de Cauchy general muestra que si una superficie de Cauchy S es una subvariedad C k de M , entonces el flujo de un campo vectorial suave en forma de tiempo define un difeomorfismo C k S × ℝ → M , y que cualesquiera dos superficies de Cauchy que sean ambas subvariedades C k de M serán C k -diffeomórficas.
Además, a costa de no poder considerar superficies Cauchy arbitrarias, siempre es posible encontrar superficies Cauchy lisas (Bernal & Sánchez 2003):
Dado cualquier suavizar colector de Lorentz ( M , g ) que tiene una superficie de Cauchy, existe una superficie de Cauchy S que es un incrustado y tipo espacio suavizar subvariedad de M y de manera que S × ℝ es suavemente difeomorfa a M .
Desarrollos de Cauchy
Sea ( M , g ) una variedad de Lorentz con orientación temporal. Se dice que un mapa c : ( a , b ) → M es una curva causal diferenciable inextensible en el pasado en ( M , g ) si:
- es diferenciable
- c ′ ( t ) es temporal dirigido al futuro o nulo dirigido al futuro para cada t en el intervalo ( a , b )
- c ( t ) no se acerca a un límite cuando t disminuye a un
Se define una curva causal diferenciable inextensible en el futuro mediante los mismos criterios, con la frase "cuando t disminuye a a " reemplazada por "cuando t aumenta ab ". Dado un subconjunto S de M , el desarrollo futuro de Cauchy D + ( S ) de S se define para consistir en todos los puntos p de M tal que si c : ( a , b ) → M es cualquier curva causal diferenciable inextensible en el pasado tal que c ( t ) = p para algunos t en ( un , b ) , entonces existe algunas s en ( un , b ) con c ( s ) ∈ S . Uno desafía el pasado desarrollo de Cauchy D - ( S ) con los mismos criterios, reemplazando "pasado-inextensible" por "futuro-inextensible".
Informalmente:
El futuro desarrollo de Cauchy de S consiste en todos los puntos p tales que cualquier observador que llegue a p debe haber pasado por S ; el pasado el desarrollo de Cauchy de S consiste en todos los puntos P tales que cualquier observador que sale de p tendrá que pasar a través de S .
El desarrollo de Cauchy D ( S ) es la unión del desarrollo futuro de Cauchy y el desarrollo pasado de Cauchy.
Discusión
Cuando no hay curvas cerradas en forma de tiempo, y son dos regiones diferentes. Cuando la dimensión del tiempo se cierra sobre sí misma en todas partes para formar un círculo, el futuro y el pasado de son iguales y ambos incluyen . La superficie de Cauchy se define rigurosamente en términos de intersecciones con curvas inextensibles para hacer frente a este caso de tiempo circular. Una curva inextensible es una curva sin final: o continúa para siempre, permaneciendo temporal o nula, o se cierra sobre sí misma para formar un círculo, una curva cerrada no espacial.
Cuando hay curvas cerradas en forma de tiempo, o incluso cuando hay curvas cerradas que no son espaciales, una superficie de Cauchy aún determina el futuro, pero el futuro incluye la superficie misma. Esto significa que las condiciones iniciales obedecen a una restricción, y la superficie de Cauchy no tiene el mismo carácter que cuando el futuro y el pasado son inconexos.
Si no hay curvas de tiempo cerradas, entonces dado una superficie de Cauchy parcial y si , toda la variedad , entonceses una superficie de Cauchy. Cualquier superficie de constanteen Minkowski, el espacio-tiempo es una superficie de Cauchy.
Horizonte de cauchy
Si entonces existe un horizonte de Cauchy entre y regiones de la variedad no completamente determinadas por la información sobre . Un claro ejemplo físico de un horizonte de Cauchy es el segundo horizonte dentro de un agujero negro cargado o en rotación. El horizonte más externo es un horizonte de eventos , más allá del cual la información no puede escapar, pero donde el futuro todavía está determinado por las condiciones externas. Dentro del horizonte interior, el horizonte de Cauchy, la singularidad es visible y para predecir el futuro se requieren datos adicionales sobre lo que surge de la singularidad.
Dado que un horizonte de Cauchy de agujero negro solo se forma en una región donde las geodésicas son salientes, en coordenadas radiales, en una región donde la singularidad central es repulsiva, es difícil imaginar exactamente cómo se forma. Por esta razón, Kerr y otros sugieren que nunca se forma un horizonte de Cauchy, sino que el horizonte interior es de hecho una singularidad espacial o temporal. El horizonte interior corresponde a la inestabilidad por inflación masiva . [2]
Un espacio-tiempo homogéneo con un horizonte de Cauchy es un espacio anti-de Sitter .
Ver también
Referencias
- ^ Uno está requiriendo que para todos los puntos p en M , existe un entorno abierto U de p y una secuencia de t k que se incrementa a b y una secuencia de s k bajando a un tal que c ( t k ) y c ( s k ) no están contenidos en U para ningún k . Esta definición tiene sentido incluso si M solo tiene la estructura de un espacio topológico .
- ^ Hamilton, Andrew JS; Avelino, Pedro P. (2010), "La física de la inestabilidad relativista de flujo inverso que impulsa la inflación masiva dentro de los agujeros negros", Physics Reports , 495 (1): 1-32, arXiv : 0811.1926 , doi : 10.1016 / j. physrep.2010.06.002 , ISSN 0370-1573
Artículos de investigación
- Choquet-Bruhat, Yvonne; Geroch, Robert. Aspectos globales del problema de Cauchy en relatividad general. Comm. Matemáticas. Phys. 14 (1969), 329–335.
- Geroch, Robert. Dominio de la dependencia. J. Phys. Matemática. 11 (1970), 437–449.
- Bernal, Antonio N .; Sánchez, Miguel. Sobre las hipersuperficies lisas de Cauchy y el teorema de la división de Geroch. Comm. Matemáticas. Phys. 243 (2003), núm. 3, 461–470.
- Bernal, Antonio N .; Sánchez, Miguel. Suavidad de las funciones del tiempo y la división métrica de los espaciotiempos hiperbólicos globalmente. Comm. Matemáticas. Phys. 257 (2005), núm. 1, 43–50.
Libros de texto
- Beem, John K .; Ehrlich, Paul E .; Easley, Kevin L. Geometría lorentziana global. Segunda edicion. Monografías y libros de texto en matemáticas puras y aplicadas, 202. Marcel Dekker, Inc., Nueva York, 1996. xiv + 635 págs. ISBN 0-8247-9324-2
- Choquet-Bruhat, Yvonne. Relatividad general y ecuaciones de Einstein. Monografías matemáticas de Oxford. Oxford University Press, Oxford, 2009. xxvi + 785 págs. ISBN 978-0-19-923072-3
- Hawking, SW; Ellis, GFR La estructura a gran escala del espacio-tiempo. Cambridge Monographs on Mathematical Physics, No. 1. Cambridge University Press, Londres-Nueva York, 1973. xi + 391 pp.
- O'Neill, Barrett. Geometría semi-riemanniana. Con aplicaciones a la relatividad. Matemáticas puras y aplicadas, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Nueva York, 1983. xiii + 468 págs. ISBN 0-12-526740-1
- Penrose, Roger. Técnicas de topología diferencial en relatividad. Junta de Conferencias de la Serie de Conferencias Regionales de Ciencias Matemáticas en Matemática Aplicada, No. 7. Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, Filadelfia, Pensilvania, 1972. viii + 72 págs.
- Wald, Robert M. Relatividad general. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1984. xiii + 491 págs. ISBN 0-226-87032-4 ; 0-226-87033-2