Centralizador y normalizador
En matemáticas , especialmente en teoría de grupos , el centralizador (también llamado conmutador [1] [2] ) de un subconjunto S en un grupo G es el conjunto de elementos de G tal que cada miembro conmuta con cada elemento de S , o equivalentemente, tal que la conjugación por hojas cada elemento de S fijada. El normalizador de S en G es el conjunto de elementos de G que satisfacen la condición más débil de dejar el conjunto fijo bajo conjugación. El centralizador y normalizador de S son subgrupos de G . Muchas técnicas de la teoría de grupos se basan en el estudio de los centralizadores y normalizadores de los subconjuntos S adecuados .
En la teoría de anillos , el centralizador de un subconjunto de un anillo se define con respecto a la operación de semigrupo (multiplicación) del anillo. El centralizador de un subconjunto de un anillo R es un subanillo de R . Este artículo también trata sobre centralizadores y normalizadores en un álgebra de Lie .
El idealizador en un semigrupo o anillo es otra construcción que está en la misma línea que el centralizador y el normalizador.
donde solo la primera definición se aplica a los semigrupos. Si no hay ambigüedad sobre el grupo en cuestión, se puede suprimir la G de la notación. Cuando S = { a } es un conjunto singleton , escribimos C G ( a ) en lugar de C G ({ a }). Otra notación menos común para el centralizador es Z ( a ), que es paralela a la notación del centro . Con esta última notación, se debe tener cuidado de evitar la confusión entre el centro de un grupo G , Z ( G ) y el centralizador de un elemento. g en G , Z ( g ).
donde nuevamente solo la primera definición se aplica a los semigrupos. Las definiciones son similares pero no idénticas. Si g está en el centralizador de S y s está en S , entonces debe ser que gs = sg , pero si g está en el normalizador, entonces gs = tg para algún t en S , con t posiblemente diferente de s . Es decir, los elementos del centralizador de S deben conmutar puntualmente con S , pero los elementos del normalizador de S solo necesitan conmutar conS como conjunto . Las mismas convenciones de notación mencionadas anteriormente para los centralizadores también se aplican a los normalizadores. El normalizador no debe confundirse con el cierre normal .
Claramente y ambos son subgrupos de .
