Las funciones de Chandrasekhar-Kendall son las funciones propias axisimétricas del operador de rizo , derivadas por Subrahmanyan Chandrasekhar y PC Kendall en 1957, [1] [2] al intentar resolver los campos magnéticos libres de fuerza. Ambos obtuvieron los resultados de forma independiente, pero se acordó publicar el artículo juntos.
Si la ecuación del campo magnético libre de fuerza se escribe como con el supuesto de campo libre de divergencia (), entonces la solución más general para el caso axisimétrico es
dónde es un vector unitario y la función escalar satisface la ecuación de Helmholtz , es decir,
La misma ecuación también aparece en la dinámica de fluidos en los flujos de Beltrami donde, el vector de vorticidad es paralelo al vector de velocidad, es decir,.
Derivación
Tomando el rizo de la ecuación y usando esta misma ecuación, obtenemos
- .
En el vector identidad , podemos establecer dado que es solenoide, lo que conduce a una ecuación vectorial de Helmholtz ,
- .
Toda solución de la ecuación anterior no es la solución de la ecuación original, pero lo contrario es cierto. Si es una función escalar que satisface la ecuación , entonces las tres soluciones linealmente independientes de la ecuación vectorial de Helmholtz están dadas por
dónde es un vector unitario fijo. Desde, se puede encontrar que . Pero esto es lo mismo que la ecuación original, por lo tanto, dónde es el campo poloidal y es el campo toroidal. Por lo tanto, sustituyendo en , obtenemos la solución más general como
Coordenadas polares cilíndricas
Tomando el vector unitario en el dirección, es decir, , con una periodicidad en el dirección con condiciones de frontera de desaparición en , la solución está dada por [3] [4]
dónde es la función de Bessel, , los enteros y está determinada por la condición de contorno Los valores propios para tiene que tratarse por separado. Desde aqui, podemos pensar en dirección para ser toroidal y dirección poloidal, consistente con la convención.
Ver también
Referencias
- ^ Chandrasekhar, Subrahmanyan (1956). "Sobre campos magnéticos libres de fuerza" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 42 (1): 1–5. doi : 10.1073 / pnas.42.1.1 . ISSN 0027-8424 .
- ^ Chandrasekhar, Subrahmanyan; Kendall, PC (septiembre de 1957). "Sobre campos magnéticos sin fuerza" . El diario astrofísico . 126 : 457. Bibcode : 1957ApJ ... 126..457C . doi : 10.1086 / 146413 . ISSN 0004-637X . PMC 534220 .
- ^ Montgomery, David; Turner, Leaf; Vahala, George (1978). "Turbulencia magnetohidrodinámica tridimensional en geometría cilíndrica". Física de fluidos . 21 (5): 757–764. doi : 10.1063 / 1.862295 .
- ^ Yoshida, Z. (1 de julio de 1991). "Eigenstates discretos de plasmas descritos por las funciones de Chandrasekhar-Kendall" . Progreso de la Física Teórica . 86 (1): 45–55. doi : 10.1143 / ptp / 86.1.45 . ISSN 0033-068X .