En el cálculo vectorial , un tema de las matemáticas puras y aplicadas , una descomposición poloidal-toroidal es una forma restringida de la descomposición de Helmholtz . Se utiliza a menudo en el análisis de coordenadas esféricas de campos vectoriales solenoidales , por ejemplo, campos magnéticos y fluidos incompresibles . [1]
Definición
Para un campo vectorial tridimensional F con divergencia cero
este F se puede expresar como la suma de un campo toroidal T y un campo vectorial poloidal P
donde r es un vector radial en coordenadas esféricas ( r , θ , φ ). El campo toroidal se obtiene de un campo escalar , Ψ ( r , θ , φ ), [2] como el siguiente rizo ,
y el campo poloidal se deriva de otro campo escalar Φ ( r , θ , φ ), [3] como un rizo de dos iteraciones,
Esta descomposición es simétrica en que el rizo de un campo toroidal es poloidal y el rizo de un campo poloidal es toroidal, conocido como función de Chandrasekhar-Kendall . [4]
Geometría
Un campo vectorial toroidal es tangencial a esferas alrededor del origen, [4]
mientras que el rizo de un campo poloidal es tangencial a esas esferas
La descomposición poloidal-toroidal es única si se requiere que el promedio de los campos escalares Ψ y Φ desaparezca en cada esfera de radio r . [3]
Descomposición cartesiana
También existe una descomposición poloidal-toroidal en coordenadas cartesianas , pero en este caso debe incluirse un flujo de campo medio. Por ejemplo, cada campo de vector solenoidal se puede escribir como
dónde denotar los vectores unitarios en las direcciones de coordenadas. [6]
Ver también
Notas
- ^ Subrahmanyan Chandrasekhar (1961). Estabilidad hidrodinámica e hidromagnética . Serie Internacional de Monografías de Física. Oxford: Clarendon. Consulte la discusión en la página 622.
- ^ Backus 1986 , p. 87.
- ↑ a b Backus , 1986 , p. 88.
- ↑ a b Backus, Parker y Constable 1996 , p. 178.
- ^ Backus, Parker y Constable 1996 , p. 179.
- ^ Jones , 2008 , p. 17.
Referencias
- Estabilidad hidrodinámica e hidromagnética , Chandrasekhar, Subrahmanyan; Serie internacional de monografías sobre física, Oxford: Clarendon, 1961, p. 622.
- Descomposición de campos solenoidales en campos poloidales, campos toroidales y flujo medio. Aplicaciones a las ecuaciones de Boussinesq , Schmitt, BJ y von Wahl, W; en Las ecuaciones de Navier-Stokes II - Teoría y métodos numéricos , págs. 291-305; Lecture Notes in Mathematics, Springer Berlin / Heidelberg, vol. 1530/1992.
- Ecuaciones magnetohidrodinámicas anelásticas para modelar zonas de convección solar y estelar , Lantz, SR y Fan, Y .; The Astrophysical Journal Supplement Series, Volumen 121, Número 1, marzo de 1999, págs. 247–264.
- Descomposición plano poloidal-toroidal de campos vectoriales doblemente periódicos: Parte 1. Campos con divergencia y Parte 2. Ecuaciones de Stokes . GD McBain. ANZIAM J. 47 (2005)
- Backus, George (1986), "Campos poloidales y toroidales en el modelado de campos geomagnéticos", Reviews of Geophysics , 24 : 75–109, Bibcode : 1986RvGeo..24 ... 75B , doi : 10.1029 / RG024i001p00075.
- Backus, George; Parker, Robert; Constable, Catherine (1996), Fundamentos del geomagnetismo , Cambridge University Press, ISBN 0-521-41006-1.
- Jones, Chris, Dynamo Theory (PDF).