En dinámica de fluidos, los flujos de Beltrami son flujos en los que el vector de vorticidad y el vector de velocidad son paralelos entre sí. En otras palabras, el flujo de Beltrami es un flujo donde el vector Lamb es cero. Lleva el nombre del matemático italiano Eugenio Beltrami debido a su derivación del campo vectorial Beltrami , mientras que los desarrollos iniciales en dinámica de fluidos fueron realizados por el científico ruso Ippolit S. Gromeka en 1881. [1] [2]
Descripción
Dado que el vector de vorticidad y el vector de velocidad son paralelos entre sí, podemos escribir
dónde es una función escalar. Una consecuencia inmediata del flujo de Beltrami es que nunca puede ser un flujo plano o axisimétrico porque en esos flujos, la vorticidad es siempre perpendicular al campo de velocidad. La otra consecuencia importante se obtendrá al observar la ecuación de vorticidad incompresible
dónde es un cuerpo externo fuerzas tales como campo gravitacional, campo eléctrico, etc., y es la viscosidad cinemática. Desde y son paralelos, los términos no lineales en la ecuación anterior son idénticamente cero . Por tanto, los flujos de Beltrami satisfacen la ecuación lineal
Cuándo , los componentes de la vorticidad satisfacen una ecuación de calor simple .
Flujo trkaliano
Viktor Trkal consideró los flujos de Beltrami sin fuerzas externas en 1919 [3] para la función escalar, es decir,
Introduzca la siguiente separación de variables
entonces la ecuación satisfecha por se convierte en
La solución de Berker
Ratip Berker obtuvo la solución en coordenadas cartesianas paraen 1963, [4]
Flujo de Beltrami generalizado
El flujo de Beltrami generalizado satisface la condición [5]
que es menos restrictiva que la condición de Beltrami . A diferencia de los flujos Beltrami normales, el flujo Beltrami generalizado se puede estudiar para flujos planos y simétricos.
Flujos planos estables
Para un flujo Beltrami generalizado y constante, tenemos y como también es plano tenemos . Presentar la función de flujo
Integración de da . Entonces, la solución completa es posible si satisface las siguientes tres ecuaciones
Se considera un caso especial cuando el campo de flujo tiene una vorticidad uniforme. . Wang (1991) [6] dio la solución generalizada como
asumiendo una función lineal para . Sustituyendo esto en la ecuación de vorticidad e introduciendo la separación de variables con la constante de separación resultados en
La solución obtenida para diferentes elecciones de se puede interpretar de manera diferente, por ejemplo, representa un flujo aguas abajo de una cuadrícula uniforme, representa un flujo creado por una placa de estiramiento, representa un flujo hacia una esquina, representa un perfil de succión asintótico, etc.
Flujos planos inestables
Aquí,
- .
Los vórtices en descomposición de Taylor
GI Taylor dio la solución para un caso especial en el que, dónde es una constante en 1923. [7] Mostró que la separación satisface la ecuación y también
Taylor también consideró un ejemplo, un sistema en descomposición de remolinos que giran alternativamente en direcciones opuestas y se organizan en una matriz rectangular.
que satisface la ecuación anterior con , dónde es la longitud del cuadrado formado por un remolino. Por lo tanto, este sistema de remolinos decae como
Flujos axiales-simétricos estables
Aquí tenemos . Integración de da y las tres ecuaciones son
La primera ecuación es la ecuación de Hicks . Marris y Aswani (1977) [8] demostraron que la única solución posible es y las ecuaciones restantes se reducen a
Un conjunto simple de soluciones a la ecuación anterior es
representa un flujo debido a dos corrientes de rotación opuestas en una superficie parabólica, representa el flujo de rotación en una pared plana, representa un vórtice elipsoidal de flujo (caso especial: vórtice esférico de Hill), representa un tipo de vórtice toroidal, etc.
La solución homogénea para como lo muestra Berker [9]
dónde son la función de Bessel del primer tipo y la función de Bessel del segundo tipo, respectivamente. Un caso especial de la solución anterior es el flujo de Poiseuille para geometría cilíndrica con velocidades de transpiración en las paredes. Chia-Shun Yih encontró una solución en 1958 para el flujo de Poiseuille en un fregadero cuando. [10]
Ver también
Referencias
- ^ Gromeka, I. "Algunos casos de movimiento de fluidos incompresible". Notas científicas de la Universidad de Kazán (1881): 76-148.
- ^ Truesdell, Clifford . La cinemática de la vorticidad. Vol. 954. Bloomington: Indiana University Press, 1954.
- ^ Trkal, V. "Un comentario sobre la hidrodinámica de los fluidos viscosos". Cas. Pst. Mat, Fys 48 (1919): 302–311.
- ^ Berker, R. "Integración de ecuaciones del movimiento de un fluide visqueux incompresible. Handbuch der Physik". (1963). Esta solución es incorrecta /
- ^ Drazin, Philip G. y Norman Riley . Las ecuaciones de Navier-Stokes: una clasificación de flujos y soluciones exactas. No. 334. Cambridge University Press, 2006.
- ^ Wang, CY 1991 Soluciones exactas de las ecuaciones de Navier-Stokes de estado estacionario, Annu. Rev. Fluid Mech. 23, 159-177.
- ^ Taylor, GI "LXXV. Sobre la descomposición de los vórtices en un fluido viscoso". Revista filosófica y Journal of Science de Londres, Edimburgo y Dublín 46.274 (1923): 671–674.
- ^ Marris, AW y MG Aswani. "Sobre la imposibilidad general de movimientos axi-simétricos de Navier-Stokes controlables". Archive for Rational Mechanics and Analysis 63.2 (1977): 107-153.
- ^ Berker, R. "Integración de ecuaciones del movimiento de un fluide visqueux incompresible. Handbuch der Physik". (1963).
- ^ Yih, CS (1959). Dos soluciones para flujo rotacional no viscoso con remolinos de esquina. Revista de mecánica de fluidos, 5 (1), 36-40.