Ecuación de Chaplygin

En dinámica de gases , la ecuación de Chaplygin , que lleva el nombre de Sergei Alekseevich Chaplygin (1902), es una ecuación diferencial parcial útil en el estudio del flujo transónico . ^{[1] [2]} Es

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {v^{2}}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}+v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}=0.}$

Aquí, ${\displaystyle c=c(v)}$es la velocidad del sonido , determinada por la ecuación de estado del fluido y la conservación de la energía.

Derivación

Para el flujo de potencial bidimensional, la ecuación de continuidad y las ecuaciones de Euler (de hecho, la ecuación de Bernoulli comprimible debido a la irrotacionalidad) en coordenadas cartesianas${\displaystyle (x,y)}$ involucrando las variables velocidad del fluido ${\displaystyle (v_{x},v_{y})}$, entalpía específica ${\displaystyle h}$ y densidad ${\displaystyle \rho }$ son

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho v_{x})+{\frac {\partial }{\partial y}}(\rho v_{y})&=0,\\h+{\frac {1}{2}}v^{2}&=h_{o}.\end{aligned}}}$

con la ecuación de estado ${\displaystyle \rho =\rho (s,h)}$actuando como tercera ecuación. Aquí${\displaystyle h_{o}}$ es la entalpía de estancamiento, ${\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$ es la magnitud del vector velocidad y ${\displaystyle s}$es la entropía. Para el flujo isentrópico , la densidad se puede expresar como una función solo de la entalpía.${\displaystyle \rho =\rho (h)}$, que a su vez utilizando la ecuación de Bernoulli se puede escribir como ${\displaystyle \rho =\rho (v)}$.

Dado que el flujo es irrotacional, un potencial de velocidad ${\displaystyle \phi }$ existe y su diferencial es simplemente ${\displaystyle d\phi =v_{x}dx+v_{y}dy}$. En lugar de tratar${\displaystyle v_{x}=v_{x}(x,y)}$ y ${\displaystyle v_{y}=v_{y}(x,y)}$ como variables dependientes, usamos una transformación de coordenadas tal que ${\displaystyle x=x(v_{x},v_{y})}$ y ${\displaystyle y=y(v_{x},v_{y})}$se convierten en nuevas variables dependientes. De manera similar, el potencial de velocidad se reemplaza por una nueva función ( transformación de Legendre )

${\displaystyle \Phi =xv_{x}+yv_{y}-\phi }$

tal entonces su diferencial es ${\displaystyle d\Phi =xdv_{x}+ydv_{y}}$, por lo tanto

${\displaystyle x={\frac {\partial \Phi }{\partial v_{x}}},\quad y={\frac {\partial \Phi }{\partial v_{y}}}.}$

Introduciendo otra transformación de coordenadas para las variables independientes de ${\displaystyle (v_{x},v_{y})}$ para ${\displaystyle (v,\theta )}$ según la relación ${\displaystyle v_{x}=v\cos \theta }$ y ${\displaystyle v_{y}=v\sin \theta }$, donde ${\displaystyle v}$ es la magnitud del vector velocidad y ${\displaystyle \theta }$ es el ángulo que forma el vector velocidad con el ${\displaystyle v_{x}}$eje, las variables dependientes se convierten en

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos \theta {\frac {\partial \Phi }{\partial v}}-{\frac {\sin \theta }{v}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\\y&=\sin \theta {\frac {\partial \Phi }{\partial v}}+{\frac {\cos \theta }{v}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\\\phi &=-\Phi +v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}.\end{aligned}}}$

La ecuación de continuidad en las nuevas coordenadas se convierte en

${\displaystyle {\frac {d(\rho v)}{dv}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial v}}+{\frac {1}{v}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}\right)+\rho v{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}=0.}$

Para flujo isentrópico, ${\displaystyle dh=\rho ^{-1}c^{2}d\rho }$, donde ${\displaystyle c}$es la velocidad del sonido. Usando la ecuación de Bernoulli encontramos

${\displaystyle {\frac {d(\rho v)}{dv}}=\rho \left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}$

donde ${\displaystyle c=c(v)}$. Por lo tanto, tenemos

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {v^{2}}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}+v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}=0.}$

Ver también

• Ecuación de Euler-Tricomi

Referencias

1. Chaplygin, SA (1902). Sobre corrientes de gas. Colección completa de obras. (Ruso) Izd. Akad. Nauk SSSR, 2.
2. Landau, LD ; Lifshitz, EM (1982). Mecánica de fluidos (2 ed.). Pergamon Press. pag. 432.