Ecuación de Chapman-Kolmogorov

En matemáticas , específicamente en la teoría de la Markovianos procesos estocásticos en teoría de la probabilidad , la ecuación de Chapman-Kolmogorov es una identidad que relaciona las distribuciones de probabilidad conjunta de diferentes conjuntos de coordenadas en un proceso estocástico. La ecuación fue derivada de forma independiente tanto por el matemático británico Sydney Chapman como por el matemático ruso Andrey Kolmogorov .

Descripción matemática

Suponga que { f _i } es una colección indexada de variables aleatorias, es decir, un proceso estocástico. Dejar

${\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})}$

ser la función de densidad de probabilidad conjunta de los valores de las variables aleatorias f ₁ a f _n . Entonces, la ecuación de Chapman-Kolmogorov es

${\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n-1}}(f_{1},\ldots ,f_{n-1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})\,df_{n}}$

es decir, una marginación directa sobre la variable molestia .

(Tenga en cuenta que todavía no se ha asumido nada sobre el orden temporal (o cualquier otro) de las variables aleatorias; la ecuación anterior se aplica igualmente a la marginación de cualquiera de ellas).

Aplicación a cadenas de Markov dilatadas en el tiempo

Cuando el proceso estocástico en consideración es de Markoviano , la ecuación de Chapman-Kolmogorov es equivalente a una identidad en las densidades de transición. En la configuración de la cadena de Markov, se supone que i ₁  <... <  i _n . Entonces, debido a la propiedad de Markov ,

${\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})=p_{i_{1}}(f_{1})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})\cdots p_{i_{n};i_{n-1}}(f_{n}\mid f_{n-1}),}$

donde la probabilidad condicional es la probabilidad de transición entre los tiempos . Entonces, la ecuación de Chapman-Kolmogorov toma la forma${\displaystyle p_{i;j}(f_{i}\mid f_{j})}$${\displaystyle i>j}$

${\displaystyle p_{i_{3};i_{1}}(f_{3}\mid f_{1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{3};i_{2}}(f_{3}\mid f_{2})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})\,df_{2}.}$

De manera informal, esto dice que la probabilidad de pasar del estado 1 al estado 3 se puede encontrar a partir de las probabilidades de pasar de 1 a un estado intermedio 2 y luego de 2 a 3, sumando todos los posibles estados intermedios 2.

Cuando la distribución de probabilidad en el espacio de estados de una cadena de Markov es discreta y la cadena de Markov es homogénea, las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov se pueden expresar en términos de multiplicación de matrices (posiblemente de dimensión infinita) , así:

${\displaystyle P(t+s)=P(t)P(s)\,}$

donde P ( t ) es la matriz de transición del salto t , es decir, P ( t ) es la matriz tal que la entrada (i, j) contiene la probabilidad de que la cadena se mueva del estado i al estado j en t pasos.

Como corolario, se deduce que para calcular la matriz de transición del salto t , es suficiente elevar la matriz de transición del salto uno a la potencia de t , es decir

${\displaystyle P(t)=P^{t}.\,}$

La forma diferencial de la ecuación de Chapman-Kolmogorov se conoce como ecuación maestra .

Ver también

• Ecuación de Fokker-Planck (también conocida como ecuación directa de Kolmogorov)
• Ecuación al revés de Kolmogorov
• Ejemplos de cadenas de Markov

Referencias

• Weisstein, Eric W. "Ecuación de Chapman-Kolmogorov" . MathWorld .

Otras lecturas

• Ross, Sheldon M. (2014). "Capítulo 4.2: Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov". Introducción a los modelos de probabilidad (11ª ed.). pag. 187. ISBN 978-0-12-407948-9.