Característica (álgebra)
En matemáticas , la característica de un anillo R , a menudo denotado char ( R ) , se define como el menor número de veces que uno debe usar la identidad multiplicativa del anillo (1) en una suma para obtener la identidad aditiva (0). Si esta suma nunca alcanza la identidad aditiva, se dice que el anillo tiene la característica cero.
La definición especial del cero característico está motivada por las definiciones equivalentes dadas en § Otras caracterizaciones equivalentes , donde no se requiere considerar el cero característico por separado.
La característica también puede tomarse como el exponente del grupo aditivo del anillo , es decir, el entero positivo más pequeño n tal que: [1] (p 198, Def. 23.12)
para cada elemento a del anillo (de nuevo, si n existe; de lo contrario, cero). Algunos autores no incluyen el elemento de identidad multiplicativa en sus requisitos para un anillo (ver Identidad multiplicativa y el término "anillo" ), y esta definición es adecuada para esa convención; de lo contrario, las dos definiciones son equivalentes debido a la ley distributiva en anillos.
Si R y S son anillos y existe un homomorfismo de anillos R → S , entonces la característica de S divide la característica de R . A veces, esto se puede utilizar para excluir la posibilidad de ciertos homomorfismos de anillo. El único anillo con la característica 1 es el anillo cero , que tiene un solo elemento 0 = 1. Si un anillo no trivial R no tiene divisores de cero no triviales , entonces su característica es 0 o primo . En particular, esto se aplica a todos los campos , a todosdominios integrales y a todos los anillos de división . Cualquier anillo de característica 0 es infinito.
El anillo de números enteros módulo n tiene la característica n . Si R es un subanillo de S , entonces R y S tienen la misma característica. Por ejemplo, si p es primo yq ( X ) es un polinomio irreducible con coeficientes en el campo con p elementos, entonces el anillo del cociente es un campo de característica p . Otro ejemplo: el campo de números complejos contiene , por lo que la característica de es 0 .
![{\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p} [X] / (q (X))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7b7ebfc51fe60c7bcd21735293a09b291468864)
