Filtros de Chebyshev son analógicas o digitales filtros que tienen una pronunciada roll-off de filtros de Butterworth , y tienen banda de paso de ondulación (tipo I) o la banda de parada ondulación (tipo II). Los filtros Chebyshev tienen la propiedad de minimizar el error entre la característica de filtro idealizada y real sobre el rango del filtro (ver referencias, por ejemplo, [Daniels], [Lutovac]), [ cita requerida ] pero con ondas en la banda de paso. Este tipo de filtro lleva el nombre de Pafnuty Chebyshev porque sus características matemáticas se derivan de polinomios de Chebyshev.. Los filtros de Chebyshev de tipo I se denominan normalmente "filtros de Chebyshev", mientras que los filtros de tipo II suelen denominarse "filtros de Chebyshev inversos".
Debido a la ondulación de la banda de paso inherente a los filtros Chebyshev, los filtros con una respuesta más suave en la banda de paso pero una respuesta más irregular en la banda de supresión son los preferidos para ciertas aplicaciones. [ cita requerida ]
Filtros Chebyshev tipo I (filtros Chebyshev)
Los filtros Chebyshev de tipo I son los tipos más comunes de filtros Chebyshev. La respuesta de ganancia (o amplitud ),, en función de la frecuencia angular del filtro de paso bajo de n -ésimo orden es igual al valor absoluto de la función de transferencia evaluado en :
dónde es el factor de ondulación, es la frecuencia de corte yes un polinomio de Chebyshev delth orden.
La banda de paso exhibe un comportamiento de ondulación equitativa, con la ondulación determinada por el factor de ondulación . En la banda de paso, el polinomio de Chebyshev alterna entre -1 y 1, por lo que la ganancia del filtro alterna entre máximos en G = 1 y mínimos en.
Por tanto, el factor de ondulación ε está relacionado con la ondulación de banda de paso δ en decibeles mediante:
En la frecuencia de corte la ganancia nuevamente tiene el valor pero continúa cayendo en la banda de supresión a medida que aumenta la frecuencia. Este comportamiento se muestra en el diagrama de la derecha. La práctica común de definir la frecuencia de corte a −3 dB generalmente no se aplica a los filtros Chebyshev; en cambio, el corte se toma como el punto en el que la ganancia cae al valor de la ondulación por última vez.
La frecuencia de 3 dB ω H está relacionada con ω 0 por:
El orden de un filtro Chebyshev es igual al número de componentes reactivos (por ejemplo, inductores ) necesarios para realizar el filtro utilizando electrónica analógica .
Una aún más pronunciada roll-off puede obtenerse si se permite que la ondulación en la banda de detención, por lo que permite ceros a la-eje en el plano complejo. Sin embargo, esto da como resultado una menor supresión en la banda de supresión. El resultado se denomina filtro elíptico , también conocido como filtro Cauer.
Polos y ceros
Por simplicidad, se supone que la frecuencia de corte es igual a la unidad. Los polosde la función de ganancia del filtro Chebyshev son los ceros del denominador de la función de ganancia. Usando la frecuencia compleja s , estos ocurren cuando:
Definiendo y usando la definición trigonométrica de los polinomios de Chebyshev se obtiene:
Resolviendo para
donde los valores múltiples de la función arco coseno se hacen explícitos usando el índice entero m . Los polos de la función de ganancia de Chebyshev son entonces:
Usando las propiedades de las funciones trigonométricas e hiperbólicas, esto se puede escribir en forma explícitamente compleja:
donde m = 1, 2, ..., n y
Esto puede verse como una ecuación paramétrica en y demuestra que los polos se encuentran en una elipse en el espacio s centrado en s = 0 con un semieje real de longitud y un semieje imaginario de longitud de
La función de transferencia
La expresión anterior se obtiene los polos de la ganancia G . Para cada polo complejo, hay otro que es el conjugado complejo, y para cada par conjugado hay dos más que son los negativos del par. La función de transferencia debe ser estable, de modo que sus polos sean los de la ganancia que tienen partes reales negativas y, por tanto, se encuentran en el semiplano izquierdo del espacio de frecuencias complejas. La función de transferencia viene dada por
dónde son solo los polos de la ganancia con signo negativo delante del término real en la ecuación anterior para los polos.
El retraso del grupo
El retardo de grupo se define como la derivada de la fase con respecto a la frecuencia angular y es una medida de la distorsión en la señal introducida por las diferencias de fase para diferentes frecuencias.
La ganancia y el retardo de grupo para un filtro Chebyshev de tipo I de quinto orden con ε = 0.5 se representan en el gráfico de la izquierda. Se puede ver que hay ondulaciones en la ganancia y el retardo de grupo en la banda de paso, pero no en la banda de parada.
Filtros Chebyshev tipo II (filtros Chebyshev inversos)
También conocido como filtros Chebyshev inversos, el tipo de filtro Chebyshev Tipo II es menos común porque no se desliza tan rápido como el Tipo I y requiere más componentes. No tiene ondulación en la banda de paso, pero tiene ondulación equitativa en la banda de parada. La ganancia es:
En la banda de supresión, el polinomio de Chebyshev oscila entre -1 y 1 de modo que la ganancia oscilará entre cero y
y la frecuencia más pequeña a la que se alcanza este máximo es la frecuencia de corte . Por tanto, el parámetro ε está relacionado con la atenuación de la banda de supresión γ en decibelios mediante:
Para una atenuación de banda de supresión de 5 dB, ε = 0,6801; para una atenuación de 10 dB, ε = 0.3333. La frecuencia f 0 = ω 0 /2 π es la frecuencia de corte. La frecuencia de 3 dB f H está relacionada af 0 por:
Polos y ceros
Suponiendo que la frecuencia de corte es igual a la unidad, los polos de la ganancia del filtro Chebyshev son los ceros del denominador de la ganancia:
Los polos de ganancia del filtro Chebyshev de tipo II son el inverso de los polos del filtro de tipo I:
donde m = 1, 2, ..., n . Los ceros del filtro Chebyshev de tipo II son los ceros del numerador de la ganancia:
Los ceros del filtro de Chebyshev de tipo II son, por tanto, el inverso de los ceros del polinomio de Chebyshev.
para m = 1, 2, ..., n .
La función de transferencia
La función de transferencia viene dada por los polos en el semiplano izquierdo de la función de ganancia, y tiene los mismos ceros, pero estos ceros son simples en lugar de dobles.
El retraso del grupo
La ganancia y el retardo de grupo para un filtro Chebyshev tipo II de quinto orden con ε = 0.1 se representan en el gráfico de la izquierda. Puede verse que hay ondulaciones en la ganancia en la banda de parada pero no en la banda de paso.
Implementación
Topología de Cauer
Se puede realizar un filtro de paso bajo LC Chebyshev pasivo usando una topología de Cauer . Los valores del inductor o condensador de un filtro prototipo de Chebyshev de orden n-ésimo se pueden calcular a partir de las siguientes ecuaciones: [1]
G 1 , G k son los valores de los elementos del condensador o del inductor. f H , la frecuencia de 3 dB se calcula con:
Los coeficientes A , γ , β , A k y B k pueden calcularse a partir de las siguientes ecuaciones:
dónde es la ondulación de la banda de paso en decibelios. El número se redondea del valor exacto .
Los valores de G k calculados se pueden convertir en condensadores en derivación e inductores en serie como se muestra a la derecha, o se pueden convertir en condensadores en serie e inductores en derivación. Por ejemplo,
- Derivación C 1 = G 1 , serie L 2 = G 2 , ...
o
- Derivación L 1 = G 1 , serie C 1 = G 2 , ...
Tenga en cuenta que cuando G 1 es un condensador en derivación o un inductor en serie, G 0 corresponde a la resistencia o conductancia de entrada, respectivamente. La misma relación es válida para G n + 1 y G n . El circuito resultante es un filtro de paso bajo normalizado. El uso de transformaciones de frecuencia y de escala de impedancia , el filtro de paso-bajo normalizada puede transformarse en paso alto , de paso de banda , y de banda eliminada filtros de cualquier deseada frecuencia de corte o de ancho de banda .
Digital
Como ocurre con la mayoría de los filtros analógicos, Chebyshev se puede convertir a una forma recursiva digital (tiempo discreto) a través de la transformada bilineal . Sin embargo, como los filtros digitales tienen un ancho de banda finito, la forma de respuesta del Chebyshev transformado está deformada . Alternativamente, se puede utilizar el método de transformación Z emparejada , que no deforma la respuesta.
Comparación con otros filtros lineales
La siguiente ilustración muestra los filtros Chebyshev junto a otros tipos de filtros comunes obtenidos con el mismo número de coeficientes (quinto orden):
Los filtros Chebyshev son más nítidos que el filtro Butterworth ; no son tan nítidos como el elíptico , pero muestran menos ondulaciones en el ancho de banda.
Ver también
- Filtro de Bessel
- Filtro de peine
- Filtro elíptico
- Nódulos de Chebyshev
- Polinomio de Chebyshev
Referencias
- ^ Matthaei et. al (1980), pág. 99
- Weinberg, Louis; Slepian, Paul (junio de 1960). "Resultados de Takahasi en Tchebycheff y Butterworth Ladder Networks". Transacciones IRE sobre teoría de circuitos . 7 (2): 88–101. doi : 10.1109 / TCT.1960.1086643 .
- Daniels, Richard W. (1974). Métodos de aproximación para el diseño de filtros electrónicos . Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-015308-6.
- Williams, Arthur B .; Taylors, Fred J. (1988). Manual de diseño de filtros electrónicos . Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-070434-1.
- Matthaei, George L .; Joven, Leo; Jones, EMT (1980). Filtros de microondas, redes de adaptación de impedancia y estructuras de acoplamiento . Norwood, MA: Artech House. ISBN 0-89-006099-1.
- Lutovac, Miroslav, D. et al .: Diseño de filtros para procesamiento de señales , Prentice Hall (2001).
enlaces externos
- Medios relacionados con los filtros Chebyshev en Wikimedia Commons