Retardo de grupo y retardo de fase

En el procesamiento de señales , el retardo de grupo es el retardo de tiempo de las envolventes de amplitud de los diversos componentes sinusoidales de una señal a través de un dispositivo bajo prueba , y es una función de la frecuencia para cada componente. El retardo de fase , por el contrario, es el retardo de tiempo de la fase en contraposición al retardo de tiempo de la envolvente de amplitud .

Todos los componentes de frecuencia de una señal se retrasan cuando pasan a través de un dispositivo como un amplificador, un altavoz o se propagan a través del espacio o un medio, como el aire. Este retardo de la señal será diferente para las distintas frecuencias a menos que el dispositivo tenga la propiedad de ser de fase lineal . La variación de retardo significa que las señales que constan de múltiples componentes de frecuencia sufrirán distorsión porque estos componentes no se retrasan por la misma cantidad de tiempo en la salida del dispositivo. Esto cambia la forma de la señal además de cualquier retraso constante o cambio de escala. Una variación de retardo suficientemente grande puede causar problemas como baja fidelidad en el audio o interferencia entre símbolos (ISI) en la demodulación deinformación digital de una señal portadora analógica . Los módems de alta velocidad utilizan ecualizadores adaptativos para compensar el retardo de grupo no constante.

Para un dispositivo como un amplificador o un sistema de telecomunicaciones, el retardo de grupo y el retardo de fase son propiedades de rendimiento del dispositivo que ayudan a caracterizar el retardo de tiempo, que es la cantidad de tiempo que los diversos componentes de frecuencia de una señal pasan a través del dispositivo desde la entrada a la salida. . Si esta sincronización no cumple suficientemente con ciertos requisitos, el dispositivo contribuirá a la distorsión de la señal. Por ejemplo, una cantidad suficiente de distorsión equivale a una baja fidelidad en el video o audio, o a una alta tasa de error de bits en un flujo de bits digital.

El retardo de fase mide directamente el retardo de tiempo del dispositivo o del sistema de los componentes de frecuencia individuales. Para una señal modulada, que debe demodularse para recuperar la inteligencia de la señal original, el retardo de grupo debe usarse con la señal modulada para determinar el retardo de tiempo de la señal demodulada.

En este artículo se analiza la teoría de fondo sobre la propiedad de respuesta de fase de un dispositivo, a partir de la cual se pueden calcular exactamente las propiedades de retardo de fase y retardo de grupo del dispositivo. Luego, el artículo pasa a ilustrar la teoría y los casos de uso de estas propiedades de dispositivo relacionadas.

Introducción

Retardo de fase

Un sistema o dispositivo lineal invariante en el tiempo (LTI) tiene una propiedad de respuesta de fase a partir de la cual se puede calcular exactamente el retardo de fase del dispositivo. El retardo de fase proporciona el retardo de tiempo de los distintos componentes de frecuencia de una señal. Dado que el retardo de fase es una función de la frecuencia que da el retardo de tiempo, una desviación de la planitud de su gráfico de función puede revelar diferencias de retardo de tiempo entre los diversos componentes de frecuencia de la señal, en cuyo caso esas diferencias contribuirán a la distorsión de la señal, que se manifiesta como la salida la forma de la forma de onda de la señal es diferente a la de la señal de entrada. La propiedad de retardo de fase en general no proporciona información útil si la entrada del dispositivo es una señal modulada. Para eso, se debe utilizar el retardo de grupo.

Retraso de grupo

Fig 1 - Dispositivos LTI externos e internos

El caso de uso básico para el retardo de grupo se ilustra en la Fig. 1, que muestra un dispositivo LTI externo que a su vez contiene un dispositivo LTI interno (bloque rojo). Una versión de la señal consta de componentes de frecuencia en el rango de frecuencia de banda base original , y otra versión de la señal que lleva la misma información es una señal modulada que consta de componentes de frecuencia que un modulador ha cambiado a un rango de frecuencia de banda de paso más alto . El demodulador hace lo contrario, bajando la frecuencia al rango de banda base original. Idealmente, la señal de salida (banda base) es una versión retardada en el tiempo de la señal de entrada (banda base) donde la forma de onda de la salida es idéntica a la de la entrada.

En situaciones limitadas, la propiedad de retardo de grupo del dispositivo interior rojo puede ser un proxy del retardo de fase del dispositivo exterior; el retardo de fase del dispositivo externo es la métrica de rendimiento significativa. Por ejemplo, si el retardo de grupo de dispositivos rojo interior es completamente plana, el dispositivo externo también tiene el ideal de un retardo de fase completamente plana, donde la contribución de distorsión debido a la respuesta de fase del dispositivo LTI exterior, totalmente determinada por el dispositivo de interior es posiblemente Se elimina la respuesta de fase diferente . En ese caso, tanto el retardo de grupo del dispositivo rojo interior como el retardo de fase del dispositivo exterior dan la misma cifra para el retardo de tiempo de la señal desde la entrada de banda base a la salida de banda base. Es importante señalar que es posible que el dispositivo interno (rojo) tenga un retardo de fase muy no plano (pero un retardo de grupo plano), mientras que el dispositivo exterior tiene el ideal de un retardo de fase perfectamente plano. Esto es una suerte porque en el diseño de dispositivos LTI, un retardo de grupo plano es más fácil de lograr que un retardo de fase plano.

Como suele ser el caso de un sistema de radio, el dispositivo LTI rojo en la figura 1 puede representar dos dispositivos LTI en cascada, uno en el extremo de envío y el otro en el extremo de recepción.

Fondo

Componentes de frecuencia de una señal

Para una señal periódica, un componente de frecuencia es una sinusoide con propiedades que incluyen la frecuencia y la fase basadas en el tiempo.

Generando una sinusoide básica

La sinusoide, con o sin una propiedad de frecuencia basada en el tiempo, se genera mediante un círculo como se muestra en la figura. En este ejemplo, la sinusoide es una onda sinusoidal que se traza utilizando la función sin trig.

Trazar una sinusoide desde un círculo: y = sin (x). En este ejemplo, se utiliza la función sin trig. Tanto para la sinusoide como para el círculo unitario, la variable de salida dependiente y está en el eje vertical. Solo para la sinusoide, el ángulo en grados es la variable de entrada independiente x en el eje horizontal. Solo para el círculo unitario, el ángulo en grados es el valor de entrada independiente x, representado como el ángulo real en el diagrama realizado entre el eje horizontal y el vector rojo, actualmente a cero grados en la imagen, pero puede estar en cualquier ángulo

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Reproducir medios

Vector giratorio que rastrea la función sin (). Paso 1 Presione reproducir. Paso 2 Maximizar Paso 3 Seleccionar fuente WebM

Cuando un ángulo creciente x hace una rotación CCW completa alrededor del círculo, se genera un ciclo del patrón de la función. Aumentar aún más el ángulo más allá de 360 grados simplemente gira alrededor del círculo nuevamente, completando otro ciclo, donde cada ciclo sucesivo repite el mismo patrón, haciendo que la función sea periódica. (Consulte la animación "Vector giratorio ..." a la izquierda.) El valor del ángulo no tiene límite, por lo que el número de veces que el patrón se repite tampoco tiene límite. Debido a esto, una sinusoide no tiene principio ni fin. Una función sinusoide se basa en una o ambas funciones trigonométricas sin (x) y cos (x).

Teoría

En teoría sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) , la teoría de control , y en digitales o procesamiento de señal analógica , la relación entre la señal de entrada, ${\ Displaystyle \ Displaystyle x (t)}$ y la señal de salida, ${\ Displaystyle \ Displaystyle y (t)}$ , de un sistema LTI se rige por una operación de convolución :

{\ Displaystyle y (t) = (h * x) (t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (u) h (tu) \, du}

O, en el dominio de la frecuencia ,

{\ Displaystyle Y (s) = H (s) X (s) \,}

dónde

{\ Displaystyle X (s) = {\ mathcal {L}} {\ Big \ {} x (t) {\ Big \}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- st} \, dt}

{\ Displaystyle Y (s) = {\ mathcal {L}} {\ Big \ {} y (t) {\ Big \}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} y (t) e ^ {- st} \, dt}

y

{\ Displaystyle H (s) = {\ mathcal {L}} {\ Big \ {} h (t) {\ Big \}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t) e ^ {- st} \, dt}

.

Aquí ${\ Displaystyle \ Displaystyle h (t)}$ es la respuesta al impulso en el dominio del tiempo del sistema LTI y ${\ Displaystyle \ Displaystyle X (s)}$ , ${\ Displaystyle \ Displaystyle Y (s)}$ , ${\ Displaystyle \ Displaystyle H (s)}$ , son las transformadas de Laplace de la entrada ${\ Displaystyle \ Displaystyle x (t)}$ , producción ${\ Displaystyle \ Displaystyle y (t)}$ y respuesta al impulso ${\ Displaystyle \ Displaystyle h (t)}$ , respectivamente. ${\ Displaystyle \ Displaystyle H (s)}$ se llama función de transferencia del sistema LTI y, al igual que la respuesta al impulso ${\ Displaystyle \ Displaystyle h (t)}$ , define completamente las características de entrada-salida del sistema LTI.

Suponga que tal sistema es impulsado por una señal cuasi-sinusoidal, es decir, una sinusoide que tiene una envolvente de amplitud ${\ Displaystyle \ Displaystyle a (t)> 0}$ que está cambiando lentamente en relación con la frecuencia ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ omega}$ de la sinusoide. Matemáticamente, esto significa que la señal de conducción cuasi-sinusoidal tiene la forma

{\ Displaystyle x (t) = a (t) \ cos (\ omega t + \ theta) \}

y la envolvente de amplitud que cambia lentamente ${\ Displaystyle \ Displaystyle a (t)}$ significa que

{\ Displaystyle \ left | {\ frac {d} {dt}} \ log {\ big (} a (t) {\ big)} \ right | \ ll \ omega \.}

Entonces, la salida de un sistema LTI de este tipo se aproxima muy bien como

{\ Displaystyle y (t) = {\ big |} H (i \ omega) {\ big |} \ a (t- \ tau _ {g}) \ cos {\ big (} \ omega (t- \ tau _ {\ phi}) + \ theta {\ big)} \ ;.}

Aquí ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ tau _ {g}}$ y ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ tau _ {\ phi}}$ , el retardo de grupo y el retardo de fase, respectivamente, vienen dados por las siguientes expresiones (y potencialmente son funciones de la frecuencia angular ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ omega}$ ). La sinusoide, como lo indican los cruces por cero, se retrasa en el tiempo por el retardo de fase, ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ tau _ {\ phi}}$ . La envolvente de la sinusoide se retrasa en el tiempo por el retraso del grupo, ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ tau _ {g}}$ .

En un sistema de fase lineal (con ganancia no inversora), ambos ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ tau _ {g}}$ y ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ tau _ {\ phi}}$ son constantes (es decir, independientes de ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ omega}$ ) e iguales, y su valor común es igual al retardo total del sistema; y el cambio de fase sin envolver del sistema (a saber ${\ Displaystyle \ Displaystyle - \ omega \ tau _ {\ phi}}$ ) es negativo, con una magnitud que aumenta linealmente con la frecuencia ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ omega}$ .

De manera más general, se puede demostrar que para un sistema LTI con función de transferencia ${\ Displaystyle \ Displaystyle H (s)}$ impulsado por una sinusoide compleja de amplitud unitaria,

{\ Displaystyle x (t) = e ^ {i \ omega t} \}

la salida es

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} y (t) & = H (i \ omega) \ e ^ {i \ omega t} \ \\ & = \ left ({\ big |} H (i \ omega) { \ big |} e ^ {i \ phi (\ omega)} \ right) \ e ^ {i \ omega t} \ \\ & = {\ big |} H (i \ omega) {\ big |} \ e ^ {i \ left (\ omega t + \ phi (\ omega) \ right)} \ \\\ end {alineado}} \}

donde el cambio de fase ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ phi}$ es

{\ Displaystyle \ phi (\ omega) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ arg \ left \ {H (i \ omega) \ right \} \ ;.}

Además, se puede demostrar que el retraso del grupo, ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ tau _ {g}}$ , y retardo de fase, ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ tau _ {\ phi}}$ , son dependientes de la frecuencia y se pueden calcular a partir del cambio de fase correctamente desenvuelto ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ phi}$ por

{\ Displaystyle \ tau _ {g} (\ omega) = - {\ frac {d \ phi (\ omega)} {d \ omega}} \}

{\ Displaystyle \ tau _ {\ phi} (\ omega) = - {\ frac {\ phi (\ omega)} {\ omega}} \}

.

Retraso de grupo en óptica

El retraso de grupo es importante en física y, en particular, en óptica .

El retardo de grupo es la tasa de cambio del desplazamiento de fase total con respecto a la frecuencia angular ,

{\ Displaystyle \ tau _ {g} = - {\ frac {d \ phi} {d \ omega}}}

a través de un dispositivo o medio de transmisión , donde

{\ Displaystyle \ phi}

es el cambio de fase total en radianes , y

{\ Displaystyle \ omega}

es la frecuencia angular en radianes por unidad de tiempo, igual a

{\ Displaystyle 2 \ pi f}

, dónde

{\ Displaystyle f}

es la frecuencia ( hercios si el retardo de grupo se mide en segundos).

En una fibra óptica , el retardo de grupo es el tránsito de tiempo requerido para la óptica de potencia , que viaja a un determinado modo de 's de velocidad de grupo , que recorrer una distancia dada. Para fines de medición de la dispersión de la fibra óptica , la cantidad de interés es el retardo de grupo por unidad de longitud, que es el recíproco de la velocidad de grupo de un modo particular. El retardo de grupo medido de una señal a través de una fibra óptica exhibe una dependencia de la longitud de onda debido a los diversos mecanismos de dispersión presentes en la fibra.

A menudo es deseable que el retardo de grupo sea constante en todas las frecuencias; de lo contrario, hay una mancha temporal de la señal. Porque el retraso de grupo es ${\ textstyle \ tau _ {g} (\ omega) = - {\ frac {d \ phi} {d \ omega}}}$ , por lo tanto, se deduce que se puede lograr un retardo de grupo constante si la función de transferencia del dispositivo o medio tiene una respuesta de fase lineal (es decir, ${\ Displaystyle \ phi (\ omega) = \ phi (0) - \ tau _ {g} \ omega}$ donde el grupo se demora ${\ Displaystyle \ tau _ {g}}$ es una constante). El grado de no linealidad de la fase indica la desviación del retardo de grupo de una constante.

Retraso de grupo en audio

El retardo de grupo tiene cierta importancia en el campo del audio y especialmente en el campo de la reproducción de sonido. Muchos componentes de una cadena de reproducción de audio, en particular los altavoces y las redes de cruce de altavoces de múltiples vías , introducen un retardo de grupo en la señal de audio. Por tanto, es importante conocer el umbral de audibilidad del retardo de grupo con respecto a la frecuencia, especialmente si se supone que la cadena de audio proporciona una reproducción de alta fidelidad . La tabla de mejores umbrales de audibilidad ha sido proporcionada por Blauert & Laws (1978) .

Frecuencia	Umbral	Periodos (Ciclos)
500 Hz	3,2 ms	1,6
1 kHz	2 ms	2
2 kHz	1 ms	2
4 kHz	1,5 ms	6
8 kHz	2 ms	dieciséis

Flanagan, Moore y Stone concluyen que a 1, 2 y 4 kHz, un retardo de grupo de aproximadamente 1,6 ms es audible con auriculares en una condición no reverberante. ^[1]

Retraso de tiempo real

Se dice que un aparato de transmisión tiene retardo de tiempo real (TTD) si el retardo de tiempo es independiente de la frecuencia de la señal eléctrica. ^[2]^[3] TTD es una característica importante de las líneas de transmisión sin pérdidas, de baja pérdida y sin dispersión. TTD permite un amplio ancho de banda de señal instantánea prácticamente sin distorsión de la señal, como el ensanchamiento de pulsos durante la operación por pulsos.

Ver también

Medidas del sistema de audio
Filtro de Bessel
Patrón de ojo
Velocidad de grupo : "La velocidad de grupo de la luz en un medio es la inversa del retardo de grupo por unidad de longitud". ^[4]
Fase espectral : "El retardo de grupo se puede definir como la derivada de la fase espectral con respecto a la frecuencia angular". ^[5]

Referencias

Este artículo incorpora material de dominio público del documento de la Administración de Servicios Generales : "Norma Federal 1037C" .

^ Flanagan, Sheila; Moore, Brian CJ; Stone, Michael A. (2005), "Discriminación del retardo de grupo en señales de clic presentadas a través de auriculares y altavoces" , Revista de la Sociedad de Ingeniería de Audio , 53 (7/8): 593–611
^ "Retraso de tiempo real" . Microondas101, IEEE .
^ Julius O. Smith III. "Retardo de fase y retardo de grupo" . Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Stanford . Parámetro desconocido |book-title=ignorado ( ayuda )
^ https://www.rp-photonics.com/group_delay.html
^ https://www.rp-photonics.com/spectral_phase.html

Blauert, J .; Laws, P. (mayo de 1978), "Group Delay Distortions in Electroacoustical Systems", Journal of the Acoustical Society of America , 63 (5): 1478-1483, Bibcode : 1978ASAJ ... 63.1478B , doi : 10.1121 / 1.381841

enlaces externos

Discusión del retardo de grupo en los altavoces
Explicaciones y aplicaciones del retardo de grupo
Blauert, J .; Laws, P. (mayo de 1978), "Group Delay Distortions in Electroacoustical Systems", Journal of the Acoustical Society of America 63 (5): 1478-1483
"Introducción a los filtros digitales con aplicaciones de audio", Julius O. Smith III, (edición de septiembre de 2007).

[1] Flanagan, Sheila; Moore, Brian CJ; Stone, Michael A. (2005), "Discriminación del retardo de grupo en señales de clic presentadas a través de auriculares y altavoces" , Revista de la Sociedad de Ingeniería de Audio , 53 (7/8): 593–611

[2] "Retraso de tiempo real" . Microondas101, IEEE .

[3] Julius O. Smith III. "Retardo de fase y retardo de grupo" . Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Stanford . Parámetro desconocido |book-title=ignorado ( ayuda )

[4] ttps://www.rp-photonics.com/group_delay.html

[5] ttps://www.rp-photonics.com/spectral_phase.html