Atado a Chernoff
En la teoría de la probabilidad , el límite de Chernoff da límites exponencialmente decrecientes en las distribuciones de cola de sumas de variables aleatorias independientes. A pesar de llevar el nombre de Herman Chernoff , el autor del artículo en el que apareció por primera vez, [1] el resultado se debe a Herman Rubin. [2] Es un límite más pronunciado que los límites de cola conocidos basados en el primer o segundo momento, como la desigualdad de Markov o la desigualdad de Chebyshev., que solo producen límites de ley de potencia en el decaimiento de la cola. Sin embargo, el límite de Chernoff requiere que las variables sean independientes, una condición que no requieren ni la desigualdad de Markov ni la desigualdad de Chebyshev, aunque la desigualdad de Chebyshev requiere que las variables sean independientes por pares.
El límite genérico de Chernoff para una variable aleatoria X se obtiene aplicando la desigualdad de Markov a e tX . Esto da un límite en términos de la función generadora de momentos de X. para cada :
Dado que este límite es cierto para cada , tenemos:
El límite de Chernoff a veces se refiere a la desigualdad anterior, [3] que fue aplicada por primera vez por Sergei Bernstein para demostrar las desigualdades de Bernstein relacionadas . [ cita requerida ] También se utiliza para demostrar la desigualdad de Hoeffding, la desigualdad de Bennett y la desigualdad de McDiarmid .
Esta desigualdad se puede aplicar generalmente a varias clases de distribuciones, incluidas las distribuciones sub-gaussianas , [4] distribuciones sub - gamma y sumas de variables aleatorias independientes. [3] Los límites de Chernoff comúnmente se refieren al caso donde es la suma de variables aleatorias de Bernoulli independientes . [5] [6]
Cuando X es la suma de n variables aleatorias independientes X 1 , ..., X n , la función generadora de momentos de X es el producto de las funciones generadoras de momentos individuales, dando que