En matemáticas intuicionistas , una secuencia de elección es una formulación constructiva de una secuencia . Dado que la escuela intuicionista de matemáticas, tal como la formuló LEJ Brouwer , rechaza la idea de un infinito completo , para usar una secuencia (que es, en las matemáticas clásicas, un objeto infinito), debemos tener una formulación de un finito, construible objeto que puede tener el mismo propósito que una secuencia. Por lo tanto, Brouwer formuló la secuencia de elección, que se da como una construcción, en lugar de un objeto infinito abstracto.
Secuencias sin ley y sin ley
Se hace una distinción entre secuencias anárquicas y análogas a la ley . Una secuencia semejante a una ley es aquella que se puede describir completamente; es una construcción completa, que se puede describir completamente. Por ejemplo, los números naturales se puede pensar en una secuencia similar a una ley: la secuencia se puede describir de manera completamente constructiva mediante el elemento único 0 y una función sucesora . Dada esta formulación, sabemos que elEl elemento en la secuencia de números naturales será el número . Del mismo modo, una función el mapeo de los números naturales a los números naturales determina efectivamente el valor de cualquier argumento que tome y, por lo tanto, describe una secuencia similar a una ley.
Una secuencia sin ley (también libre ), por otro lado, es una que no está predeterminada. Debe considerarse como un procedimiento para generar valores para los argumentos 0, 1, 2, .... Es decir, una secuencia sin ley es un procedimiento para generar , , ... (los elementos de la secuencia ) tal que:
- En cualquier momento de construcción de la secuencia , solo se conoce un segmento inicial de la secuencia, y no se imponen restricciones a los valores futuros de ; y
- Se puede especificar, de antemano, un segmento inicial de .
Tenga en cuenta que el primer punto anterior es un poco engañoso, ya que podemos especificar, por ejemplo, que los valores de una secuencia se extraigan exclusivamente del conjunto de números naturales; podemos especificar, a priori , el rango de la secuencia.
El ejemplo canónico de una secuencia sin ley es la serie de tiradas de un dado . Especificamos qué troquel utilizar y, opcionalmente, especificamos de antemano los valores del primer rollos (para ). Además, restringimos los valores de la secuencia para que estén en el conjunto. Esta especificación comprende el procedimiento para generar la secuencia sin ley en cuestión. En ningún momento, entonces, se conoce ningún valor futuro particular de la secuencia.
Axiomatización
Hay dos axiomas en particular que esperamos mantener en las secuencias de elección descritas anteriormente. Dejar denotar la relación "la secuencia comienza con la secuencia inicial "para secuencia de elección y segmento finito (más específicamente, probablemente será un número entero que codifica una secuencia inicial finita).
Esperamos que lo siguiente, llamado axioma de datos abiertos , se aplique a todas las secuencias sin ley:
dónde es un predicado de un lugar . La justificación intuitiva de este axioma es la siguiente: en las matemáticas intuicionistas, la verificación de que sostiene la secuencia se da como un procedimiento ; en cualquier punto de ejecución de este procedimiento, habremos examinado sólo un segmento inicial finito de la secuencia. Intuitivamente, entonces, este axioma establece que, dado que, en cualquier punto de verificar que sostiene de , solo habremos verificado que se mantiene para una secuencia inicial finita de ; por lo tanto, debe ser el caso que también se aplica a cualquier secuencia sin ley compartiendo esta secuencia inicial. Esto es así porque, en cualquier punto del procedimiento de verificación, por cualquiera de esos compartiendo el prefijo inicial de codificado por que ya hemos examinado, si ejecutamos el mismo procedimiento en , obtendremos el mismo resultado. El axioma se puede generalizar para cualquier predicado que tome un número arbitrario de argumentos.
Se requiere otro axioma para las secuencias sin ley. El axioma de densidad , dado por:
establece que, para cualquier prefijo finito (codificado por) , hay una secuencia comenzando con ese prefijo. Requerimos este axioma para no tener "huecos" en el conjunto de secuencias de elección. Este axioma es la razón por la que requerimos que las secuencias iniciales finitas y arbitrariamente largas de secuencias de elección sin ley se puedan especificar de antemano; sin este requisito, el axioma de densidad no está necesariamente garantizado.
Referencias
- Dummett, M. 1977. Elementos del intuicionismo , Oxford University Press.
- Jacquette, Dale. 2002. Un compañero de la lógica filosófica , Blackwell Publishing. p 517.
- Kreisel, Georg. 1958. Un comentario sobre las secuencias de libre elección y las pruebas de completitud topológica , Journal of Symbolic Logic volumen 23. p 269
- Troelstra, AS 1977. Choice Sequences. Un capítulo de matemáticas intuicionistas. Prensa de Clarendon.
- Troelstra, AS 1983. Análisis de secuencias de elección , Journal of Philosophical Logic, 12: 2 p. 197.
- Troelstra, AS; D. van Dalen . 1988. Constructivismo en Matemáticas: Introducción. Holanda Septentrional.