El empaquetamiento de círculos en un triángulo equilátero es un problema de empaquetamiento en matemáticas discretas donde el objetivo es empacar n círculos unitarios en el triángulo equilátero más pequeño posible . Se conocen soluciones óptimas para n <13 y para cualquier número triangular de círculos, y hay conjeturas disponibles para n <28. [1] [2] [3]
Una conjetura de Paul Erdős y Norman Oler establece que, si n es un número triangular, entonces los empaquetamientos óptimos de n - 1 y de n círculos tienen la misma longitud de lado: es decir, de acuerdo con la conjetura, un empaquetamiento óptimo para n - Se pueden encontrar 1 círculos quitando cualquier círculo del empaque hexagonal óptimo de n círculos. [4] Ahora se sabe que esta conjetura es cierta para n ≤ 15 . [5]
Soluciones mínimas para la longitud del lado del triángulo: [1]
Numero de circulos | Es triangular | Largo | Área |
---|---|---|---|
1 | Cierto | = 3.464 ... | 5.196 ... |
2 | Falso | = 5,464 ... | 12,928 ... |
3 | Cierto | = 5,464 ... | 12,928 ... |
4 | Falso | = 6,928 ... | 20.784 ... |
5 | Falso | = 7,464 ... | 24.124 ... |
6 | Cierto | = 7,464 ... | 24.124 ... |
7 | Falso | = 8,928 ... | 34.516 ... |
8 | Falso | = 9.293 ... | 37.401 ... |
9 | Falso | = 9,464 ... | 38.784 ... |
10 | Cierto | = 9,464 ... | 38.784 ... |
11 | Falso | = 10,730 ... | 49.854 ... |
12 | Falso | = 10,928 ... | 51.712 ... |
13 | Falso | = 11,406 ... | 56,338 ... |
14 | Falso | = 11,464 ... | 56.908 ... |
15 | Cierto | = 11,464 ... | 56.908 ... |
Un problema estrechamente relacionado es cubrir el triángulo equilátero con un número fijo de círculos iguales, con un radio lo más pequeño posible. [6]
Ver también
- Empaquetado de círculos en un triángulo rectángulo isósceles
- Círculos de Malfatti , una construcción que da la solución óptima para tres círculos en un triángulo equilátero
Referencias
- ^ a b Melissen, Hans (1993), "Empaquetaduras más densas de círculos congruentes en un triángulo equilátero", The American Mathematical Monthly , 100 (10): 916–925, doi : 10.2307 / 2324212 , JSTOR 2324212 , MR 1252928.
- ^ Melissen, JBM; Schuur, PC (1995), "Empaquetando 16, 17 o 18 círculos en un triángulo equilátero" , Matemáticas discretas , 145 (1–3): 333–342, doi : 10.1016 / 0012-365X (95) 90139-C , MR 1356610.
- ^ Graham, RL ; Lubachevsky, BD (1995), " Empaquetaduras densas de discos iguales en un triángulo equilátero: de 22 a 34 y más allá" , Revista Electrónica de Combinatoria , 2 : Artículo 1, aprox. 39 págs. (Electrónico), MR 1309122.
- ^ Oler, Norman (1961), "Un problema de empaquetamiento finito", Canadian Mathematical Bulletin , 4 (2): 153-155, doi : 10.4153 / CMB-1961-018-7 , MR 0133065.
- ^ Payan, Charles (1997), "Empilement de cercles égaux dans un triangle équilatéral. À propos d'une conjecture d'Erdős-Oler", Discrete Mathematics (en francés), 165/166: 555–565, doi : 10.1016 / S0012 -365X (96) 00201-4 , MR 1439300.
- ^ Nurmela, Kari J. (2000), "Coberturas conjeturalmente óptimas de un triángulo equilátero con hasta 36 círculos iguales" , Experimental Mathematics , 9 (2): 241-250, doi : 10.1080 / 10586458.2000.10504649 , MR 1780209 , S2CID 45127090.