Claude Jacques Berge (5 de junio de 1926 - 30 de junio de 2002) fue un matemático francés , reconocido como uno de los fundadores modernos de la combinatoria y la teoría de grafos .
Claude Berge | |
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Nació | |
Fallecido | 30 de junio de 2002 | (76 años)
Nacionalidad | francés |
alma mater | Universidad de Paris |
Conocido por | Teorema del máximo lema de Berge |
Carrera científica | |
Campos | Matemáticas |
Instituciones | Centre national de la recherche scientifique Universidad de París |
Estudiantes de doctorado | Michel Las Vergnas |
Biografía e historia profesional
Los padres de Claude Berge fueron André Berge y Geneviève Fourcade. André Berge (1902-1995) fue un médico y psicoanalista que, además de su labor profesional, había publicado varias novelas. Era hijo de René Berge, ingeniero de minas, y Antoinette Faure. Félix François Faure (1841-1899) fue el padre de Antoinette Faure; fue presidente de Francia de 1895 a 1899. André Berge se casó con Geneviève en 1924 y Claude, el tema de esta biografía, fue el segundo de sus seis hijos. Sus cinco hermanos eran Nicole (la mayor), Antoine, Philippe, Edith y Patrick. Claude asistió a la École des Roches cerca de Verneuil-Sur-Avre, a unos 110 km al oeste de París. Esta famosa escuela privada, fundada por el sociólogo Edmond Demolins en 1899, atrajo a estudiantes de toda Francia a su innovador programa educativo. En esta etapa de su vida, Claude no estaba seguro sobre el tema en el que debería especializarse. Dijo en su vida posterior:
“No estaba muy seguro de querer hacer matemáticas. A menudo había una mayor necesidad de estudiar literatura ".
Su amor por la literatura y otras materias no matemáticas nunca lo abandonó y discutiremos a continuación cómo jugaron un papel importante en su vida. Sin embargo, decidió estudiar matemáticas en la Universidad de París. Tras la obtención de su primer título, continuó investigando para su doctorado, asesorado por André Lichnerowicz. Comenzó a publicar artículos sobre matemáticas en 1950. En ese año aparecieron dos de sus artículos, el artículo corto Sur l'isovalence et la régularité des transformateurs y el artículo principal de 30 páginas Sur un nouveau calcul symbolique et ses applications. El cálculo simbólico que discutió en este importante artículo es una combinación de funciones generadoras y transformadas de Laplace. Luego aplicó este cálculo simbólico al análisis combinatorio, números de Bernoulli, ecuaciones en diferencias, ecuaciones diferenciales y factores de sumabilidad. En 1951 publicó otros dos artículos breves Sur l'inversion des transformateurs y Sur une théorie ensembliste des jeux alternatifs que anunciaban varios resultados que serían discutidos a fondo en su tesis. Se doctoró en 1953 por su tesis Sur une théorie ensembliste des jeux alternatifs. En esta tesis, examinó juegos en los que se dispone de información perfecta en los que, en cada movimiento, hay posiblemente un número infinito de opciones. Los juegos no son necesariamente finitos, permitiéndose la continuación indefinida. Berge examinó las propiedades de tales juegos con un análisis exhaustivo. En 1953 se publicó un artículo de 55 páginas basado en su tesis y con el mismo título.
Berge se casó con Jane Gentaz (nacida el 7 de enero de 1925) el 29 de diciembre de 1952; tuvieron un hijo, Delphine, nacido el 1 de marzo de 1964. En 1952, antes de la obtención de su doctorado, Berge fue nombrado asistente de investigación en el Centre National de la Recherche Scientifique. En 1957 pasó un tiempo en los Estados Unidos como profesor invitado en la Universidad de Princeton. Allí participó en el Proyecto de Investigación Económica que estaba bajo contrato con la Oficina de Investigaciones Navales. Durante su estancia en Princeton, realizó un trabajo que se presentó en el artículo Dos teoremas de la teoría de grafos publicado en las Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América. Este fue uno de sus primeros trabajos sobre teoría de grafos, siendo su trabajo anterior sobre teoría de juegos y combinatoria. Estaba escribiendo su famoso libro Théorie des graphes et ses applications Ⓣ en este momento y acababa de publicar su libro sobre la teoría de juegos Théorie générale des jeux à n personnes Ⓣ (1957). A su regreso a Francia desde los Estados Unidos, Berge asumió el cargo de Director de investigación en el Centre national de la recherche scientifique. También en 1957 fue nombrado profesor en el Instituto de Estadística de la Universidad de París. Théorie des graphes et ses applications Ⓣ se publicó en 1958 y, sorprendentemente, al año siguiente se publicó su tercer libro Espaces topologiques, fonctions multivoques Ⓣ. Para un matemático de treinta y pocos años, publicar tres libros importantes en otros tantos años es un logro verdaderamente sobresaliente.
En 1994, Berge escribió un misterio de asesinato "matemático" para Oulipo. En esta historia corta Quién mató al duque de Densmore (1995), el duque de Densmore ha sido asesinado por una de sus seis amantes, y Holmes y Watson son convocados para resolver el caso. Watson es enviado por Holmes al castillo del Duque pero, a su regreso, la información que le transmite a Holmes es muy confusa. Holmes usa la información que Watson le da para construir una gráfica. . [1]
A partir de 1952 fue asistente de investigación en el Centro Nacional de Investigaciones Científicas de Francia (CNRS), y de 1957 a 1964 fue profesor en el Instituto de Estadística de la Universidad de París . De 1965 a 1967 dirigió el Centro Internacional de Computación en Roma. También estuvo asociado con el Centre d'Analyse et de Mathématique Sociales (CAMS), un centro de investigación de la École des hautes études en sciences sociales . Ocupó puestos de visitante en la Universidad de Princeton en 1957, la Universidad Estatal de Pensilvania en 1968 y la Universidad de Nueva York en 1985, y fue un visitante frecuente del instituto estadístico indio de Calcuta. [2] [1]
El período alrededor de 1960 parece haber sido particularmente importante y fructífero para Berge. A través del libro Th´eorie des graphes et ses applications, se había establecido un nombre matemático. En 1959 asistió a la primera conferencia sobre teoría de grafos en Dobogok˝o, Hungría, y conoció a los teóricos de grafos húngaros. Publicó un artículo de encuesta sobre la coloración de gráficos. Introdujo las ideas que pronto llevaron a gráficos perfectos. En marzo de 1960 habló de esto en una reunión en Halle, Alemania Oriental. En noviembre del mismo año, fue uno de los diez miembros fundadores de OuLiPo (Ouvroir de Litt´erature Potentiel). Y en 1961, con su amigo y colega Marco Sch¨utzenberger, inició el S´eminaire sur les probl`emes combinatoires de l'Universit´e de Paris (que más tarde se convertiría en Equipe combinatoire du CNRS). Al mismo tiempo, Berge logró el éxito como escultor.
En 1994, Berge escribió un misterio de asesinato "matemático" para Oulipo. En esta historia corta Quién mató al duque de Densmore (1995), el duque de Densmore ha sido asesinado por una de sus seis amantes, y Holmes y Watson son convocados para resolver el caso. Watson es enviado por Holmes al castillo del Duque pero, a su regreso, la información que le transmite a Holmes es muy confusa. Holmes usa la información que Watson le da para construir una gráfica. Luego aplica un teorema de György Hajós al gráfico que produce el nombre del asesino. Otras contribuciones inteligentes de Berge a Oulipo se describen en [6].
Otro de los intereses de Berge era el arte y la escultura. Describió sus primeras esculturas, realizadas en parte a partir de piedras encontradas en el río Sena, en su libro Sculptures multipètres (1962). Bjarne Toft escribe [21]: -
“En nuestra vida cotidiana moderna, estamos rodeados y bombardeados por imágenes, esculturas y diseños (también) hermosos e impecables. En esta corriente nos llaman la atención las esculturas de Claude Berge, con su autenticidad y honestidad. No fingen ser más de lo que son. Berge vuelve a captar algo general y esencial, como hizo en sus matemáticas. Las esculturas pueden parecer al principio simplemente divertidas, y ciertamente tienen un lado humorístico. Pero tienen fuertes personalidades en su estilo único, te van agradando mientras sigues mirándolos, ¡si uno podría vivir con ellos si cobraran vida es otro asunto! ”.
Contribuciones matemáticas
Berge escribió cinco libros, sobre teoría de juegos (1957), teoría de grafos y sus aplicaciones (1958), espacios topológicos (1959), principios de combinatoria (1968) e hipergrafías (1970), cada uno de ellos traducido a varios idiomas. Estos libros ayudaron a sacar los temas de teoría de grafos y combinatoria del descrédito al resaltar las aplicaciones prácticas exitosas de los temas. [3] Es particularmente recordado por dos conjeturas sobre gráficos perfectos que hizo a principios de la década de 1960, pero que no se probaron hasta mucho más tarde:
- Una gráfica es perfecta si y solo si su complemento es perfecto, probado por László Lovász en 1972 y ahora conocido como el teorema de la gráfica perfecta , [4] y
- Un gráfico es perfecto si y solo si ni él ni su complemento contienen un ciclo inducido de longitud impar de al menos cinco, probado por Maria Chudnovsky , Neil Robertson , Paul Seymour y Robin Thomas en un trabajo publicado en 2006 y ahora conocido como el perfecto fuerte teorema del grafo . [5]
Los juegos fueron una pasión de Claude Berge a lo largo de su vida, ya sea jugándolos, como en favoritos como el ajedrez, backgammon y hex, o explorando aspectos más teóricos. Esta pasión regía sus intereses por las matemáticas. Comenzó a escribir sobre teoría de juegos en 1951, pasó un año en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton en 1957 y ese mismo año produjo su primer libro importante Th´eorie g´en´erale des jeux `an personnes [1] . Aquí, uno no solo se encuentra con nombres como von Neumann y Nash, como era de esperar, sino también con nombres como K¨onig, Ore y Richardson. De hecho, el libro contiene mucha teoría de grafos, a saber, la teoría de grafos útil para la teoría de juegos. También contiene mucha topología, es decir, la topología de relevancia para la teoría de juegos. Por lo tanto, era natural que Berge siguiera rápidamente este trabajo con dos volúmenes más grandes, Th´eorie des graphes et ses applications [2] y Espaces topologiques, fonctions multivoques [3]. Th´eorie des graphes et ses applications [2] es una obra maestra, con su combinación única de teoría general, teoremas - fáciles y difíciles, demostraciones, ejemplos, aplicaciones, diagramas. Es un manifiesto personal de la teoría de grafos, más que una descripción completa, como intenta en el libro de K¨onig [31]. Sería un proyecto interesante comparar los dos primeros libros anteriores sobre teoría de grafos, de Sainte-Lagu¨e [34] y K¨onig [31] respectivamente, con el libro de Berge [2]. Está claro que el libro de Berge es más relajado y divertido que el de K¨onig, en particular. Se rige por el gusto de Berge y bien podría subtitularse "seducción en teoría de grafos" (para usar las palabras de Rota del prefacio de la traducción al inglés de [13]). Entre los temas principales de [2] se encuentran la factorización, los emparejamientos y la alternancia de caminos. Aquí Berge se basa en el artículo fundamental de Gallai [25]. Tibor Gallai es uno de los más grandes teóricos de los grafos (hasta cierto punto se le pasa por alto), pero no Berge. Gallai fue uno de los primeros en enfatizar los teoremas mínimo-máximo y la dualidad LP en combinatoria.
También es conocido por su teorema de máxima en la optimización y para el lema de Berge , que establece que una coincidencia M en una gráfica G es máximo si y sólo si existe en G ninguna trayectoria de aumento con respecto a M .
Arte
Además de las matemáticas, Claude Berge disfrutó de la literatura, la escultura y el arte. Berge cofundó el grupo literario francés Oulipo con novelistas y otros matemáticos en 1960 para crear nuevas formas de literatura. En esta asociación, escribió un misterio de asesinato basado en un teorema matemático: ¿Quién mató al duque de Densmore? En una adaptación de esta historia, el duque de Densmore muere a causa de una explosión. Diez años después, se llama a Sherlock Holmes y Watson para investigar este caso sin resolver. Utilizando los testimonios de las siete ex esposas del duque y su conocimiento de los gráficos de intervalos , Holmes puede determinar cuál hizo varias visitas al duque y pudo colocar la bomba. [6] [7]
Premios y honores
Berge ganó la Medalla de Oro EURO de la Asociación de Sociedades de Investigación Operacional Europea en 1989, [1] [8] y (con Ronald Graham ) la Medalla Euler inaugural del Instituto de Combinatoria y sus Aplicaciones en 1993. [1]
Reseñas de sus libros
Reseña de: Frank Harary.
The American Mathematical Monthly 70 (1) (1963), 106-107.
Ésta es la traducción al inglés de "Théorie des graphes et ses applications", Dunod, París, 1958. Felicitaciones a Alison Doig de la London School of Economics and Political Science por un trabajo de traducción muy competente. Ocasionalmente se notan diferencias culturales entre franceses y británicos, como en la Introducción donde se traduce "II est tres remarquable ...": "Es una cuestión de observación común ..." (que diferentes disciplinas a menudo usan teoremas análogos). El libro francés fue revisado por RA Good en The American Mathematical Monthly 68 (1961) 76-77. Las primeras y últimas frases de la revisión de Good dicen: "Los tentáculos de la teoría de los gráficos se hacen cada vez más numerosos y penetran más profundamente en muchas fases de las matemáticas. En general, en este libro tenemos una exposición actualizada, por uno de los desarrolladores mismo, de una teoría intrigante capaz de manejar un popurrí fascinante de situaciones ".
En nuestra revisión del libro francés en Mathematical Reviews 21 (1960), 309, notamos: "Este es el segundo libro sobre teoría de grafos jamás escrito. El libro anterior es el ya clásico: Denes König, 'Theorie der endlichen und unendlichen Graphen (Akademische Verlag, Leipzig, 1936; Chelsea Publishing Company, Nueva York, 1950). Sin embargo, hay varios libros sobre análisis combinatorio y topología que contienen un capítulo sobre teoría de grafos. Recientemente ha resurgido el interés tanto en la teoría como en aplicación de gráficos, de donde el autor obtiene el título de su libro. El libro contiene un número considerable de nuevos resultados sobre la teoría de grafos que se han descubierto desde el libro de Denes König y, por lo tanto, es una adición muy bienvenida a la literatura matemática ". El cambio más notable es que los Apéndices III, IV y V se han omitido en la traducción. El Apéndice IV del libro original indicaba 14 problemas sin resolver. De estos, el problema 4 fue resuelto recientemente por Chong-Yun Chao, el problema 11 se resolvió en nuestra revisión anterior y los problemas 12-14 le piden al lector que resuelva la conjetura de los cuatro colores. Se ha mejorado la precisión de las referencias. Desafortunadamente, algunos de ellos todavía hacen referencia a varios artículos. La inclusión de un índice de autores en esta traducción al inglés habría sido muy bienvenida. En la actualidad, los libros existentes o anunciados sobre teoría de grafos son los siguientes: 1. Denes König, original en alemán, en proceso de traducción al inglés. 2. Claude Berge, original en francés, traducción al inglés aquí revisada. 3. Oystein Ore, Theory of Graphs, Publicaciones 38 del Coloquio de la American Mathematical Society, 1962. 4. Oystein Ore, Graphs and their uses, de próxima publicación en la serie School Mathematics Study Group (SMSG). Además, varios otros teóricos de grafos participan activamente en la redacción de sus propias versiones de los fundamentos, fundamentos y elementos de la teoría de grafos. Es de esperar que con todas estas contribuciones al campo, así como con aquellos libros sobre teoría de grafos escritos principalmente para una audiencia de ingenieros eléctricos, investigadores de operaciones o científicos sociales, dos desarrollos se volverán más pronunciados: (i) cada uno El académico que encuentre conveniente utilizar conceptos estructurales o combinatorios en su propia investigación no se sentirá obligado a redescubrir la teoría de grafos por sí mismo, ab initio. (ii) esta elegante teoría con sus aplicaciones dentro de las matemáticas a la topología, la lógica, el álgebra y el análisis combinatorio eventualmente se convertirá en un curso de pregrado en la mayoría de las universidades modernas.
Reseña de: Rufus Isaacs.
Investigación de operaciones 7 (5) (1959), 681-682.
El término gráfico, el tema de este libro, no tiene la connotación común de trama o curva, pero se refiere a un uso matemático establecido pero esotérico. Un gráfico es un conjunto de puntos, algunos pares de los cuales están conectados por arcos. Estos arcos pueden estar orientados o no, es decir, tener una dirección definida asociada de un extremo al otro. Posiblemente sería apropiado un nuevo nombre para disipar la confusión. Ofrecemos teoría de vínculos. El aspecto geométrico de la definición anterior no es, por supuesto, el meollo del asunto; Los gráficos pueden ser diagramas simbólicos de una gran variedad de situaciones. Los puntos pueden representar casi cualquier tipo de objeto y los arcos casi cualquier tipo de interrelación entre ellos. Por tanto, deberíamos esperar que el tema abundara en diversas aplicaciones, y el libro de Berge lo hace. Al hojear el volumen, uno queda fascinado por la variedad de ilustraciones, y los diversos ejemplos dan fe de los contenidos muy eclécticos. El analista de investigación encontrará muchas cosas que le encantarán e instruirán. Hasta ahora, el trabajo estándar era "Theorie der endlichen und unendlichen Graphen" de Denes König (Leipzig, 1936). Aquí se lee de una rama de la matemática clásica que avanzó en muchas direcciones pero penetró profundamente en pocas, los esfuerzos menores de muchos matemáticos importantes. Se puede tener una visión del tema con solo echar un vistazo a una muestra de los problemas más conocidos. Una línea de Euler [llamada así por Leonhard Euler] es aquella que cubre todos los arcos de un gráfico y se puede dibujar sin levantar el lápiz ni volver a trazar. Proviene del famoso problema de los siete puentes de Königsberg como se relata en la mayoría de las historias de las matemáticas y se describe popularmente como el punto de partida de la topología. Una línea de Hamilton [llamada así por William Rowan Hamilton] es casi un concepto dual: no necesita cubrir todos los arcos, sino que debe pasar por cada vértice una vez y solo una vez. En ambos casos, el problema es determinar las condiciones bajo las cuales es posible trazar la línea apropiada. El problema de Euler es bastante fácil, pero el problema de Hamilton sigue sin resolverse. Uno de los problemas no resueltos más famosos es el de la coloración de mapas: mostrar que cuatro colores son suficientes para colorear cualquier mapa plano, de modo que los países adyacentes sean siempre de matices distintos. Se convierte en una cuestión de teoría de grafos si dejamos que cada vértice represente un país, conectándolos mediante un arco cuando los países correspondientes tienen una frontera mutua. La crema de problemas tan antiguos se trata con elegancia en el libro de Berge. Pero junto a ellos están los avances actuales en el tema. El discípulo de la investigación operativa reconocerá mucho material y muchos nombres; una buena proporción es estadounidense. Por ejemplo, hay un capítulo sobre redes de transporte. Incluye los algoritmos de Ford-Fulkerson [nombrados en honor a Lester Randolph Ford (1886-1967), Delbert Ray Fulkerson (1924-1976)] y los teoremas de Hoffman [Alan Jerome Hoffman (1924-)] y Gale [David Gale (1921) -2008)]. Como de costumbre, las aplicaciones son asombrosamente diversas. Además de las cuestiones de optimización del transporte y el enrutamiento, las mismas técnicas se adaptan al problema de la cobertura mínima, algunos avances combinatorios, problemas de teoría de conjuntos y programación lineal. Los métodos continúan resolviendo problemas en algunos capítulos posteriores; en uno sobre acoplamientos encontramos un problema típico del alcance aplicado de esta teoría. En los llamados gráficos simples, los vértices se dividen en dos conjuntos de modo que todos los arcos conectan solo los miembros de un conjunto con los puntos del otro. Un acoplamiento es un subconjunto de estos arcos, y no hay dos que tengan un punto final común. El problema: encontrar un acoplamiento máximo. ¿Qué es una aplicación? Deje que uno de los dos conjuntos de vértices anteriores represente un conjunto de trabajadores y el otro, trabajos por realizar. Se dibuja un arco de conexión cuando un trabajador es capaz de realizar ese trabajo. Entonces, un acoplamiento máximo corresponde a un esquema máximo de asignación de trabajadores a puestos de trabajo adecuados. Una segunda aplicación, pero más trivial, merece ser citada por motivos menos técnicos:
“Dans un collège mixte américain, toute jeune fille a mm" novios ", et tout garçon a mm" amigas "; ¿est-il posible de faire danser simultanément chaque jeune fille avec un de ses novios y chaque garçon avec une de ses novias?
Hay un capítulo sobre teoría de juegos (el autor ha escrito una monografía separada sobre este tema); otros se ocupan de matrices y árboles. Hay un apéndice sobre teoría de circuitos eléctricos y algunos problemas no eléctricos relacionados. Siempre hay diversidad estimulante. En el capítulo titulado Facteurs, por ejemplo, aparecen tres ejemplos consecutivos: Viaje alrededor del mundo (William Rowan Hamilton); La gira de los caballeros por el tablero de ajedrez (Leonhard Euler); y - un rápido salto a los tiempos modernos y los problemas de las colas - El problema de la encuadernación [Selmer Martin Johnson (1916-1996)]. El analista de operaciones se beneficiará de este trabajo (además de divertirse) al adquirir un arsenal de técnicas nuevas e imaginativas. Incluso si nunca tuviera la oportunidad de usarlos, su ingenio no puede sino agudizarse debido a la notable forma en que conceptos aparentemente dispares están vinculados por ideas subyacentes comunes.
Publicaciones Seleccionadas
Grandes obras matemáticas
(Nota: traducción al inglés aproximada entre paréntesis)
- Théorie générale des jeux à n personnes (Teoría general de juegos para n jugadores), 1957, trad. en ruso, 1961
- Théorie des graphes et ses applications , Wiley, 1958, trad. Inglés, ruso, español, rumano, chino. Traducción al inglés: The Theory of Graphs and its Applications , Wiley, 1964
- Espaces topologiques, fonctions multivoques , 1959, trad. en inglés, 1963. Traducción al inglés Espacios topológicos: incluido un tratamiento de funciones de valor múltiple, espacios vectoriales y convexidad , Dover Books, 2010.
- Programas, jeux et réseaux de transport , con A. Ghouila-Houri, Wiley, 1962, trad. Inglés, español, alemán, chino. Traducción al inglés: Programación, juegos y redes de transporte , Wiley, 1965
- Graphes parfaits (gráficos perfectos), 1963
- Principes de Combinatoire , Wiley, 1968. Traducción al inglés: Principles of Combinatorics , Academic Press, 1971 [9]
- Graphes et Hypergraphes , en 1969 y 1970, trad. en inglés, japonés. Traducción al inglés: Graphs and Hypergraphs , North-Holland Publishing Company, 1973.
- Hipergrafias. Combinatoires des ensembles finis (Hipergrafos. Conjuntos finitos combinatorios), Gauthier-Villars, 1987, trad. inglés
Trabajo literario
- Esculturas Multipètres , 1961
- La Reine Aztèque (Reina azteca), 1983
- ¿Qui a tué le Duc de Densmore? (¿Quién mató al duque de Densmore?) 1994
- Raymond Queneau et la combinatoire ( Raymond Queneau y combinatoria), 1997
Referencias
- ↑ a b c d O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Claude Jacques Roger Berge" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
- ^ Claude Berge , quién es quién en Francia
- ^ Bhogle, Srinivas (10 de octubre de 2002), "Tribute to Claude Berge" (PDF) , Current Science , 83 (7): 906–907
- ^ Lovász, László (1972a), "Hipergrafías normales y la conjetura de la gráfica perfecta", Matemáticas discretas , 2 (3): 253-267, doi : 10.1016 / 0012-365X (72) 90006-4. —— (1972b), "Una caracterización de gráficos perfectos", Journal of Combinatorial Theory , Serie B, 13 (2): 95–98, doi : 10.1016 / 0095-8956 (72) 90045-7
- ^ Chudnovsky, Maria ; Robertson, Neil ; Seymour, Paul ; Thomas, Robin (2006), "El teorema del gráfico fuerte perfecto" , Annals of Mathematics , 164 (1): 51-229, arXiv : math / 0212070 , doi : 10.4007 / annals.2006.164.51
- ^ ¿Quién mató al duque de Densmore?
- ^ Sherlock Holmes Asesinato en el castillo
- ^ Galardonados con la medalla de oro del EURO , Asociación europea de investigación operativa, consultado el 21 de mayo de 2015.
- ^ Stanley, Richard (1971). "Revisión: Principios de combinatoria de Claude Berge" (PDF) . Toro. Amer. Matemáticas. Soc . 77 (5): 685–689. doi : 10.1090 / s0002-9904-1971-12770-2 .
enlaces externos
- Claude Berge en el Proyecto de genealogía matemática
- Fotografía de Claude Berge
- Obras matemáticas de Claude Berge
- Página de Claude Berge en la Universidad de Montreal (por G. Hahn)
- Obituario de S. Bhogle
- Obituario de V. Chvatal
- Creación y recreación: un tributo a la memoria de Claude Berge en matemáticas discretas, volumen 306, 6 de octubre de 2006
- Chvátal, Vašek (15 de marzo de 1997), "En alabanza de Claude Berge", Matemáticas discretas , 165-166: 3-9, doi : 10.1016 / s0012-365x (96) 00156-2