El teorema del máximo proporciona condiciones para la continuidad de una función optimizada y el conjunto de sus maximizadores con respecto a sus parámetros. La declaración fue probada por primera vez por Claude Berge en 1959. [1] El teorema se usa principalmente en economía matemática y control óptimo .
Declaración del teorema
Teorema del máximo . [2] [3] [4] [5] Deje y ser espacios topológicos, ser una función continua en el producto , y ser una correspondencia compacta de valor tal que para todos . Definir la función marginal (o función de valor ) por
y el conjunto de maximizadores por
- .
Si es continuo (es decir, hemicontinuo superior e inferior ) en, luego es continuo y es hemicontinuo superior con valores no vacíos y compactos. Como consecuencia, el puede ser reemplazado por y el por .
Interpretación
El teorema se interpreta típicamente como que proporciona las condiciones para que un problema de optimización paramétrica tenga soluciones continuas con respecto al parámetro. En este caso, es el espacio de parámetros, es la función a maximizar, y da el conjunto de restricciones que se maximiza. Luego, es el valor maximizado de la función y es el conjunto de puntos que maximizan .
El resultado es que si los elementos de un problema de optimización son suficientemente continuos, entonces una parte, pero no toda, de esa continuidad se conserva en las soluciones.
Prueba
A lo largo de esta demostración usaremos el término vecindad para referirnos a un conjunto abierto que contiene un punto en particular. Prólogo con un lema preliminar, que es un hecho general en el cálculo de correspondencias. Recuerde que una correspondencia se cierra si su gráfica está cerrada.
Lema . [6] [7] [8] Si son correspondencias, es hemicontinuo superior y de valor compacto, y está cerrado, entonces definido por es hemicontinuo superior.
Prueba |
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Dejar y supongamos es un conjunto abierto que contiene . Si, entonces el resultado sigue inmediatamente. De lo contrario, observe que para cada tenemos , y desde está cerrado hay un barrio de en el cual cuando sea . La colección de conjuntos forma una tapa abierta del conjunto compacto , que nos permite extraer una subcubierta finita . Entonces cuando, tenemos , y entonces . Esto completa la prueba. |
La continuidad de en el teorema del máximo es el resultado de combinar dos teoremas independientes.
Teorema 1 . [9] [10] [11] Si es semicontinuo superior y es hemicontinuo superior, no vacío y de valor compacto, entonces es semicontinuo superior.
Prueba del teorema 1 |
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Reparar , y deja ser arbitrario. Para cada, existe un barrio de tal que siempre que , tenemos . El conjunto de barrios cubre , que es compacto, entonces satisfacer. Además, dado que es hemicontinuo superior, existe un vecindario de tal que siempre que resulta que . Dejar. Entonces para todos, tenemos para cada , como para algunos . Resulta que que se deseaba. |
Teorema 2 . [12] [13] [14] Si es menor semicontinuo y es hemicontinuo más bajo, entonces es semicontinuo inferior.
Prueba del teorema 2 |
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Reparar , y deja ser arbitrario. Por definición de, existe tal que . Ahora, desde es semicontinuo inferior, existe un vecindario de tal que siempre que tenemos . Observa eso (En particular, ). Por tanto, dado que es hemicontinuo más bajo, existe una vecindad tal que siempre que existe . Dejar. Entonces cuando existe , lo que implica que se deseaba. |
Bajo las hipótesis del teorema del máximo, es continuo. Queda por verificar quees una correspondencia hemicontinua superior con valores compactos. Dejar. Para ver eso no está vacío, observe que la función por es continuo en el conjunto compacto . El teorema del valor extremo implica queno está vacío. Además, desde es continuo, se sigue que un subconjunto cerrado del conjunto compacto , lo que implica es compacto. Finalmente, deja ser definido por . Desde es una función continua, es una correspondencia cerrada. Además, dado que, el Lema preliminar implica que es hemicontinuo superior.
Variantes y generalizaciones
Una generalización natural de los resultados anteriores proporciona suficientes condiciones locales paraser continuo y ser no vacío, compacto y semicontinuo superior.
Si además de las condiciones anteriores, es cuasicóncavo en para cada y tiene un valor convexo, entonces también tiene un valor convexo. Si es estrictamente cuasicóncava en para cada y tiene un valor convexo, entonces tiene un solo valor y, por lo tanto, es una función continua en lugar de una correspondencia.
Si es cóncava ytiene una gráfica convexa , entonces es cóncava y tiene un valor convexo. De manera similar a lo anterior, si es estrictamente cóncavo, entonces es una función continua. [15]
También es posible generalizar el teorema de Berge a correspondencias de valores conjuntos no compactas si la función objetivo es K-inf-compact. [dieciséis]
Ejemplos de
Considere un problema de maximización de la utilidad en el que un consumidor toma una decisión de su conjunto de presupuesto. Traduciendo de la notación anterior a la notación estándar de la teoría del consumidor,
- es el espacio de todos los paquetes de productos básicos
- representa el vector de precios de los productos básicos y la riqueza del consumidor ,
- es la función de utilidad del consumidor , y
- es el presupuesto del consumidor establecido .
Luego,
- es la función de utilidad indirecta y
- es la demanda marshalliana .
Las demostraciones en la teoría del equilibrio general a menudo aplican los teoremas de punto fijo de Brouwer o Kakutani a la demanda del consumidor, que requieren compacidad y continuidad, y el teorema máximo proporciona las condiciones suficientes para hacerlo.
Ver también
Notas
- ↑ Ok, Efe (2007). Análisis real con aplicaciones económicas . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 306 . ISBN 978-0-691-11768-3.
- ^ La referencia original es el Teorema del máximo en el Capítulo 6, Sección 3 Claude Berge (1963). Espacios topológicos . Oliver y Boyd. pag. 116.De manera famosa, o quizás infame, Berge solo considera los espacios topológicos de Hausdorff y solo permite aquellos conjuntos compactos que son en sí mismos espacios de Hausdorff. También requiere que las correspondencias hemicontinuas superiores se valoren de forma compacta. Estas propiedades se han aclarado y desagregado en la literatura posterior.
- ^ Compare con el teorema 17.31 en Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Border (2006). Análisis dimensional infinito: una guía del autoestopista . Saltador. págs. 570 .Esto se da para espacios topológicos arbitrarios. También consideran la posibilidad de que solo se puede definir en el gráfico de .
- ^ Compare con el teorema 3.5 en Shouchuan Hu; Nikolas S. Papageorgiou (1997). Manual de análisis multivalor . 1: Teoría. Springer-Science + Business Media, BV p. 84. Consideran el caso que y son espacios de Hausdorff.
- ^ Teorema 3.6 en Beavis, Brian; Dobbs, Ian (1990). Teoría de la optimización y la estabilidad para el análisis económico . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 83–84. ISBN 0-521-33605-8.
- ^ Compare con el teorema 7 del capítulo 6, sección 1 de Claude Berge (1963). Espacios topológicos . Oliver y Boyd. pag. 112. Berge asume que los espacios subyacentes son Hausdorff y emplea esta propiedad para (pero no para ) en su prueba.
- ^ Compare con la Proposición 2.46 en Shouchuan Hu; Nikolas S. Papageorgiou (1997). Manual de análisis multivalor . 1: Teoría. Springer-Science + Business Media, BV p. 53. Asumen implícitamente que y son espacios de Hausdorff, pero su prueba es general.
- ↑ Compare con el Corolario 17,18 en Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Border (2006). Análisis dimensional infinito: una guía del autoestopista . Saltador. págs. 564 . Esto se da para espacios topológicos arbitrarios, pero la prueba se basa en la maquinaria de las redes topológicas.
- ^ Compare con el teorema 2 del capítulo 6, sección 3 de Claude Berge (1963). Espacios topológicos . Oliver y Boyd. pag. 116. El argumento de Berge es esencialmente el que se presenta aquí, pero nuevamente usa resultados auxiliares probados con los supuestos de que los espacios subyacentes son Hausdorff.
- ^ Compare con la Proposición 3.1 en Shouchuan Hu; Nikolas S. Papageorgiou (1997). Manual de análisis multivalor . 1: Teoría. Springer-Science + Business Media, BV p. 82.Trabajan exclusivamente con espacios de Hausdorff, y su prueba nuevamente se basa en redes topológicas. Su resultado también permite asumir los valores .
- ↑ Comparar con Lema 17.30 en Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Border (2006). Análisis dimensional infinito: una guía del autoestopista . Saltador. págs. 569 . Consideran espacios topológicos arbitrarios y utilizan un argumento basado en redes topológicas.
- ^ Compare con el Teorema 1 del Capítulo 6, Sección 3 de Claude Berge (1963). Espacios topológicos . Oliver y Boyd. pag. 115. El argumento presentado aquí es esencialmente suyo.
- ^ Compare con la Proposición 3.3 en Shouchuan Hu; Nikolas S. Papageorgiou (1997). Manual de análisis multivalor . 1: Teoría. Springer-Science + Business Media, BV p. 83.Trabajan exclusivamente con espacios de Hausdorff, y su prueba nuevamente se basa en redes topológicas. Su resultado también permite asumir los valores .
- ^ Compárese con el lema 17.29 en Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Border (2006). Análisis dimensional infinito: una guía del autoestopista . Saltador. págs. 569 . Consideran espacios topológicos arbitrarios y utilizan un argumento que involucra redes topológicas.
- ^ Sundaram, Rangarajan K. (1996). Un primer curso de teoría de la optimización . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 239 . ISBN 0-521-49770-1.
- ^ Teorema 1.2 en Feinberg, Eugene A .; Kasyanov, Pavlo O .; Zadoianchuk, Nina V. (enero de 2013). "Teorema de Berge para conjuntos de imágenes no compactas". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 397 (1): 255–259. arXiv : 1203.1340 . doi : 10.1016 / j.jmaa.2012.07.051 . S2CID 8603060 .
Referencias
- Claude Berge (1963). Espacios topológicos . Oliver y Boyd. págs. 115-117.
- Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Border (2006). Análisis dimensional infinito: una guía del autoestopista . Saltador. págs. 569 -571.
- Shouchuan Hu; Nikolas S. Papageorgiou (1997). Manual de análisis multivalor . 1: Teoría. Springer-Science + Business Media, BV págs. 82–89.