La desigualdad de Clausius-Duhem [1] [2] es una forma de expresar la segunda ley de la termodinámica que se utiliza en la mecánica del continuo . Esta desigualdad es particularmente útil para determinar si la relación constitutiva de un material es termodinámicamente permisible. [3]
Esta desigualdad es una declaración sobre la irreversibilidad de los procesos naturales, especialmente cuando se trata de disipación de energía. Lleva el nombre del físico alemán Rudolf Clausius y del físico francés Pierre Duhem .
Desigualdad de Clausius-Duhem en términos de la entropía específica
La desigualdad de Clausius-Duhem se puede expresar en forma integral como
En esta ecuación es la hora, representa un cuerpo y la integración es sobre el volumen del cuerpo, representa la superficie del cuerpo, es la densidad de masa del cuerpo,es la entropía específica (entropía por unidad de masa),es la velocidad normal de, es la velocidad de las partículas en el interior, es la unidad normal a la superficie, es el vector de flujo de calor ,es una fuente de energía por unidad de masa, yes la temperatura absoluta . Todas las variables son funciones de un punto material en en el momento .
En forma diferencial, la desigualdad de Clausius-Duhem se puede escribir como
dónde es la derivada de tiempo de y es la divergencia del vector .
Prueba |
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Asumir que es un volumen de control fijo arbitrario . Luego y la derivada se puede tomar dentro de la integral para dar Usando el teorema de la divergencia , obtenemos Desde es arbitrario, debemos tener Expandiendo o, o, Ahora, las derivadas del tiempo material de y son dadas por Por lo tanto, De la conservación de la masa . Por eso, |
Desigualdad de Clausius-Duhem en términos de energía interna específica
La desigualdad se puede expresar en términos de energía interna como
dónde es la derivada en el tiempo de la energía interna específica (la energía interna por unidad de masa), es el estrés de Cauchy , yes el gradiente de la velocidad. Esta desigualdad incorpora el equilibrio de energía y el equilibrio de momento lineal y angular en la expresión de la desigualdad de Clausius-Duhem.
Prueba |
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Usando la identidad en la desigualdad de Clausius-Duhem, obtenemos Ahora, usando la notación de índice con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas , Por eso, Por lo tanto, Reorganizando, |
Disipación
La cantidad
se llama disipación, que se define como la tasa de producción de entropía interna por unidad de volumen multiplicada por la temperatura absoluta . Por lo tanto, la desigualdad de Clausius-Duhem también se denomina desigualdad de disipación . En un material real, la disipación es siempre mayor que cero.
Ver también
Referencias
- ^ Truesdell, Clifford (1952), "Los fundamentos mecánicos de la elasticidad y la dinámica de fluidos", Journal of Rational Mechanics and Analysis , 1 : 125–300.
- ^ Truesdell, Clifford & Toupin, Richard (1960), "Las teorías clásicas de campo de la mecánica", Handbuch der Physik , III , Berlín: Springer.
- ^ Frémond, M. (2006), "The Clausius-Duhem Inequality, an Interesting and Productive Inequality", Mecánica y análisis no suaves , Avances en mecánica y matemáticas, 12 , Nueva York: Springer, págs. 107-118, doi : 10.1007 / 0-387-29195-4_10 , ISBN 0-387-29196-2.
enlaces externos
- Memorias de Clifford Truesdell por Bernard D. Coleman, Journal of Elasticity, 2003.
- Reflexiones sobre termomecánica de Walter Noll , 2008.