Véase también el glosario de álgebra conmutativa , el glosario de geometría algebraica clásica y el glosario de teoría de anillos . Para las aplicaciones de la teoría de números, consulte el glosario de geometría aritmética y diofántica .
Por simplicidad, a menudo se omite una referencia al esquema básico; es decir, un esquema será un esquema sobre algún esquema de base fija S y un morfismo un S -morfismo.
La geometría algebraica ocupó un lugar central en las matemáticas del siglo pasado. Los resultados más profundos de Abel, Riemann, Weierstrass, muchos de los artículos más importantes de Klein y Poincaré pertenecen a este dominio. A finales del siglo pasado y principios del presente, la actitud hacia la geometría algebraica cambió abruptamente. ... El estilo de pensamiento que se desarrolló plenamente en la geometría algebraica en ese momento estaba demasiado alejado del espíritu teórico y axiomático de conjuntos, que luego determinó el desarrollo de las matemáticas. ... Hacia mediados del presente siglo, la geometría algebraica había sufrido en gran medida un proceso de remodelación. Como resultado, puede volver a reclamar la posición que una vez ocupó en matemáticas.
Si bien gran parte del trabajo inicial sobre módulos, especialmente desde [Mum65], puso el énfasis en la construcción de espacios de módulos finos o gruesos, recientemente el énfasis se desplazó hacia el estudio de las familias de variedades, es decir, hacia módulos functores y pilas de módulos. La tarea principal es comprender qué tipo de objetos forman familias "agradables". Una vez que se establece un buen concepto de "familias agradables", la existencia de un espacio de módulos burdos debería ser casi automática. El espacio de módulos burdos ya no es el objeto fundamental, sino que es solo una forma conveniente de realizar un seguimiento de cierta información que solo está latente en el functor de módulos o en la pila de módulos.
Desde el punto de vista del propio Grothendieck, casi no debería haber una historia de los esquemas, sino sólo una historia de la resistencia a ellos: ... No hay una pregunta histórica seria de cómo Grothendieck encontró su definición de esquemas. Estaba en el aire. Serre ha dicho bien que nadie inventó esquemas (conversación 1995). La pregunta es, ¿qué hizo creer a Grothendieck que debería usar esta definición para simplificar un artículo de 80 páginas de Serre en unas 1000 páginas de Éléments de géométrie algébrique ?
El análogo de dimensiones superiores de los morfismos étale son los morfismos suaves . Hay muchas caracterizaciones diferentes de suavidad. Las siguientes son definiciones equivalentes de suavidad del morfismo f : Y → X :